Bài tập về sử dụng công thức diện tích để tính độ dài đoạn thẳng. Chứng minh hệ thức hình học
6. Cho $\Delta $ABC có AM là đường trung tuyến. Qua O là điểm bất kì trên AM kẻ một đường thẳng song song với BC cắt AB, AC lần lượt ở D, E. Chứng minh rằng DO = OC.
7. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Qua giao điểm O của hai đường chéo, kẻ đường thẳng song song với đáy, cắt AD và BC theo thứ tự ở E và H. Chứng minh rằng EO = OH.
8. Cho $\Delta $ABC cân tại A, có đường cao AH. Qua điểm M thuộc đáy BC kẻ MP $\perp $ AB, MQ $\perp $ AC. Chứng minh rằng MP + MQ = BH
6.
Gọi chiều cao kẻ từ A đến DE là h1.
Vì DE // BC nên chiều cao kẻ từ D, E đến BC bằng nhau, gọi chiều cao đó là h2.
SABM = SAMC (vì chung chiều cao kẻ từ A đến BC, đáy bằng nhau)
SBMD = SMCE (vì đáy bằng nhau, chiều cao bằng nhau)
$\Rightarrow $ SABM - SBMD = SAMC - SMCE
$\Rightarrow $ SAMD = SAME (1)
Mặt khác :
SADM = SAOD + SDOM = $\frac{1}{2}$DO.h1 + $\frac{1}{2}$DO.h2 = $\frac{DO}{2}$(h1 + h2) (2)
SAME = SAEO + SOEM = $\frac{1}{2}$OE.h1 + $\frac{1}{2}$OE.h2 = $\frac{EO}{2}$(h1 + h2) (3)
Từ (1), (2), (3) $\Rightarrow $ DO = OE
7.
Trước hết ta chứng minh SADO = SBCO
Vì AB // CD nên chiều cao từ A và B đến CD bằng nhau.
Ta có SACD = SBCD (vì chung đáy CD, chiều cao bằng nhau)
Mà SACD = SADO + SDOC
SBCD = SBOC + SOCD
$\Rightarrow $ SAOD = SBCO
Lập luận tương tự bài 6 ta được EO = OH.
8.
Gọi AB =AC = 2a.
Ta tính diện tích $\Delta $ABC theo hai cách.
S = $\frac{1}{2}$AC.BH = $\frac{1}{2}$BH.2a = a.BH
S = SAMB + SAMC = $\frac{1}{2}$AB.MP + $\frac{1}{2}$AC.MQ = a(MP + MQ)
$\Rightarrow $ a.HB = a(MP + MQ)
$\Rightarrow $ BH = MP + MQ (Đpcm)
Bình luận