BÀI 13: BỘI CHUNG. BỘI CHUNG NHỎ NHẤT 

1. Bội chung

Bài 1: 

a) Bài toán “Đèn nhấp nháy”

Hai dây đèn nhấp nháy với ánh sáng màu xanh, đỏ phát sáng một cách đều đặn. Dây đèn xanh cứ sau 4 giây lại phát sáng một lần, dây đèn đỏ lại phát sáng một lần sau 6 giây. Cả hai dây đèn cùng phát sáng lần đầu tiên vào lúc 8 giờ tối. Giả thiết thời gian phát sáng không đáng kể…

Giải rút gọn:

a) Ta thấy kể từ giây đầu tiên thì sau 12 giây hai đèn sẽ sáng cùng lúc.

b) B(2) = {0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20; 22; 24; 26;…}

    B(3) = {0; 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27; 30; 33; 36; 39…}

3 phần tử chung của 2 tập hợp này: 6; 12; 18

Bài 2: Các khẳng định sau đúng hay sai? Giải thích.

a) 20 ∈ BC(4, 10);

b) 36 ∈ BC(14, 18);

c) 72 ∈ BC(12, 18, 36).

Giải rút gọn:

a) Đúng

b) Sai. Vì: 

• B(14) = {0; 14; 28; 42; 56;…}

• B(18) = {0; 18; 36; 54;…} 

Nên 36 ∉ BC(14, 18).

c) Đúng

Bài 3: Hãy viết:

a) Các tập hợp: B(3); B(4); B(8).

b) Tập hợp M các số tự nhiên nhỏ hơn 50 là bội chung của 3 và 4.

c) Tập hợp K các số tự nhiên nhỏ hơn 50 là bội chung của 3; 4 và 8.

Giải rút gọn:

a) B(3) = {0; 3; 6; 9; 12; 15;…}

B(4) = {0; 4; 8; 12; 16; 20;…}

B(8) = {0; 8; 16; 24; 32; 40;…}

b) M = {0; 12; 24; 36; 48}

c) K = {0; 24; 48}

2. Bội chung nhỏ nhất

Bài 1:

- Chỉ ra số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp BC(6, 8). Hãy nhận xét về quan hệ giữa số nhỏ nhất đó với các bội chung của 6 và 8.

- Chỉ ra số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp BC(3, 4, 8). Hãy nhận xét về mối quan hệ giữa số nhỏ nhất đó với các bội chung của 3, 4 và 8.

Giải rút gọn:

+) B(6) = {0; 6; 12; 18; 24;…}; B(8) = {0; 8; 16; 24; 32;…}

Vậy số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp BC(6, 8) là 24

Nhận xét: Số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp bội chung của 6, 8 là BCNN của 6, 8.

+) B(3) = {0; 3; 6; 9; 12; 15;…}

B(4) = {0; 4; 8; 12; 16; 20;…}

B(8) = {0; 8; 16; 24; 32;…}

Vậy số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp BC(2, 4, 8) là 24.

Nhận xét: Số nhỏ nhất khác 0 ở tập hợp bội chung của 2, 4, 8 là BCNN của 2, 4, 8.

Bài 2: Viết tập hợp BC(4, 7), từ đó chỉ ra BCNN(4, 7). Hai số 4 và 7 có là hai số nguyên tố cùng nhau không?

Giải rút gọn:

B(4) = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28;…}; B(7) = {0; 7; 14; 21; 28;…}

=> BCNN(4, 7) = 28 = 4 . 7 

=> 4 và 7 là hai số nguyên tố cùng nhau.

3. Tìm bội chung nhỏ nhất bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố

Bài 1: Tìm BCNN(24, 30); BCNN(3, 7, 8); BCNN(12, 16, 48).

Giải rút gọn:

+) 24 = 2³ .3;  30 = 2 . 3 . 5 

=> BCNN(24, 30) = 2³ . 3 . 5 = 120

+) 3, 7, 8 từng đôi một là số nguyên tố cùng nhau.

=> BCNN(3, 7, 8) = 3 . 7 . 8 = 168

+) 48 là bội của 12 và 16

=> BCNN(12, 16, 48) = 48.

Bài 2: Tìm BCNN(2, 5, 9); BCNN(10, 15, 30)

Giải rút gọn:

+) 2, 5, 9 từng đôi một là số nguyên tố cùng nhau.

=> BCNN(2, 5, 9) = 2 . 5 . 9 = 90

+) 30 là bội của 10 và 15 

=> BCNN(10, 15, 30) = 30.

4. Ứng dụng trong quy đồng mẫu các phân số

Bài 1:

1) Quy đồng mẫu các phân số sau:…

Giải rút gọn:

1) 

a)  BCNN(12, 30) = 60

b) BCNN(2, 5, 8) = 40

2) 

a) Ta có: BCNN(6, 8) = 24

=> + = + =

b)  BCNN(24, 30) = 120

=> - = - = =

5. Bài tập

Bài 1: Tìm ra:

a) BC(6, 14);                     b) BC(6, 20, 30);                           c) BCNN(1, 6);

d) BCNN(10, 1, 12);                   e) BCNN(5, 14).

Giải rút gọn:

a) BCNN(6, 14) = 42 => BC(6, 14) = {0; 42; 84; 126;…}.

b) BCNN(6, 20, 30) = 60 => BC(6, 20, 30) = {0; 60; 120; 180;…}.

c) Vì 1 và 6 là hai số nguyên tố cùng nhau => BCNN(1, 6) = 6.

d) 10 = 2 . 5;  12 = 2² . 3 => BCNN(10, 1, 12) = 2² . 3 . 5 = 60.

e) Vì 5 và 14 là hai số nguyên tố cùng nhau => BCNN(5, 14) = 5 . 14 = 70.

Bài 2:

a) Ta có BCNN(12, 16) = 48. Hãy viết tập hợp A các bội của 48. Nhận xét về tập hợp BC(12, 16) và tập hợp A.

b) Để tìm tập hợp bội chung của hai số tự nhiên a và b, ta có thể tìm tập hợp các bội của BCNN(a, b). Hãy vận dụng để tìm tập hợp các bội chung của:

i. 24 và 30;                ii. 42 và 60;                  iii. 60 và 150;                  iv.28 và 35.

Giải rút gọn:

a) A = {0; 48; 96; 144; 192;…}

Nhận xét: Tập hợp BC(12, 16) chính là tập hợp A.

b)

i. 24 = 2³ . 3;   36 = 2² . 3²

=> BCNN(24, 36) = 2³ . 3² = 72

=> BC(24, 36) = B(72) = {0; 72; 144; 216;…}.

ii. 42 = 2 . 3 . 7;   60 = 2² . 3 . 5

=> BCNN(42, 60) = 420

=> BC(42, 60) = B(420) = {0; 420; 840; 1260;…}.

iii. 60 = 2² . 3 . 5;   50 = 2 . 3 . 5²

=> BCNN(60, 150) = 2² . 3 . 5² = 300

=> BC(60, 150) = B(300) = {0; 300; 600; 900;…}.

iv. 28 = 2² . 7;   35 = 5 . 7

=> BCNN(28, 35) = 2² . 5 . 7 = 140

=> BC(28, 35) = B(140) = {0; 140; 280; 420;…}.

Bài 3: Quy đồng mẫu số các phân số sau (có sử dụng bội chung nhỏ nhất):

a) và ;                               b) , và .

Giải rút gọn:

a)  BCNN(16, 24) = 48

= và = .

b)  BCNN(20, 30, 15) = 60

Bài 4: Thực hiện các phép tính (có sử dụng bội chung nhỏ nhất):…

Giải rút gọn:

a) BCNN(15, 10) = 30

=> + = + =

b) BCNN(6, 9, 12) = 36

=> + + = + + =

c) BCNN(21, 24) = 168

=> - = - = =

d) BCNN(36, 24) = 72

=> - = - =

Bài 5: Chị Hòa có một số bông sen. Nếu chị bó thành các bó gồm 3 bông, 5 bông hay 7 bông thì đều vừa hết. Hỏi chị Hoa có bao nhiêu bông sen? Biết rằng chị Hòa có khoảng từ 200 đến 300 bông.

Giải rút gọn:

Gọi x là số bông sen chị Hòa có.

Nếu chị bó thành các bó bông gồm 3 bông, 5 bông hay 7 bông thì số bông sen chị Hòa có là bội chung của 3, 5 và 7.

Vì 3, 5, 7 từng đôi một là số nguyên tố cùng nhau 

=> BCNN(3, 5, 7) = 105 => x ∈ BC(3, 5, 7) = B(105) = {0; 105; 210; 315;…}

Mà theo đề bài 200 ≤ x ≤ 300 => x = 210.

Vậy số bông sen chị Hòa có là 210 bông.