BÀI 12: ƯỚC CHUNG. ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT 

1. Ước chung

Bài 1:

a) Một nhóm học sinh gồm 12 bạn nam và 8 bạn nữ đi dã ngoại. Có bao nhiêu cách chia nhóm, mỗi nhóm từ 2 bạn trở lên sao cho số bạn nam ở mỗi nhóm bằng nhau, số bạn nữ ở mỗi nhóm cũng bằng nhau.

b) Viết các tập hợp Ư(18), Ư(30). Liệt kê các phần tử chung của tập hợp này.

Giải rút gọn:

a) Cách 1: Chia 1 nhóm gồm 12 nam và 8 nữ.

Cách 2: Chia 2 nhóm, mỗi nhóm 6 nam, 4 nữ.

Cách 3: Chia 4 nhóm, mỗi nhóm 3 nam, 2 nữ.

b) Ư(18) = {1; 2; 3; 6; 9; 18}; Ư(30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}.

=> ƯC(18, 30) = {1; 2; 3; 6}

Bài 2: Các khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao?

a) 6 ∈ ƯC(24, 30); 

b) 6 ∈ ƯC(28, 42); 

c) 6 ∈ ƯC(18, 24, 42); 

Giải rút gọn:

a) Đúng

b) Sai

• Ư(28) = {1; 2; 4; 7; 14; 28}

• Ư(42) = {1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42}

=> ƯC(28, 42) = {1; 2; 7; 14}.

c) Đúng

Bài 3: Tìm ước chung của:

a) 36 và 45; 

b) 18, 36 và 45.

Giải rút gọn:

a) Ư(36) = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36}; Ư(45) = {1; 3; 5; 9; 15; 45}

=> ƯC(36; 45) = {1; 3; 9}.

b) Ư(18) = {1; 2; 3; 6; 9; 18};   Ư(36) = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36}

    Ư(45) = {1; 3; 5; 9; 15; 45}

=> ƯC(18, 36, 45) = {1; 3; 9}.

2. Ước chung lớn nhất

Bài 1: Một chi đội gồm 18 học sinh nam và 30 học sinh nữ muốn lập thành các đội tham gia hội diễn văn nghệ sao cho tiết mục của các đội khác nhau và mỗi bạn chỉ tham gia một đội, số nam trong các đội bằng nhau và số nữ cũng vậy. Có thể biểu diễn được nhiều nhất bao nhiêu tiết mục văn nghệ?

Giải rút gọn:

Vì số đội được chia phải nhiều nhất có thể nên số đội được chia là ƯCLN của 18 và 30.

Vậy có thể biểu diễn được nhiều nhất 6 tiết mục văn nghệ.

Bài 2: Viết ƯC(24, 30) và từ đó chỉ ra ƯCLN(24, 30).

Giải rút gọn:

Ư(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}; Ư(30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}

=> ƯCLN(24, 30) = 6.

3. Tìm ước chung lớn nhất bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố

Bài 1: Tìm ƯCLN(24, 60); ƯCLN(14, 33); ƯCLN(90,135, 270).

Giải rút gọn:

+) 24 = 2 . 2 . 2 . 3 = 2³ . 3; 60 = 2 . 2 . 3 . 5 = 2² . 3 . 5

=> ƯCLN(24, 60) = 2² . 3 = 12.

+) 14 = 2 . 7;  33 = 1 . 33

=> ƯCLN(14, 33) = 1

+) 90 = 2 . 3² . 5; 135 = 3³ . 5;  270 = 2 . 3³ . 5

=> ƯCLN(90, 135, 270) = 3² . 5 = 45.

4. Ứng dụng trong rút gọn phân số

Bài 1: Rút gọn các phân số sau: ;

Giải rút gọn:

+) ƯCLN(24, 108) = 12 => = =

+) ƯCLN(80, 32) = 16 => = = .

5. Bài tập

Bài 1: Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

a) ƯC(12, 24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12};                              

b) ƯC(36, 12, 48) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}.

Giải rút gọn:

a) Sai. Vì:

Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}; Ư(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}

=> ƯC(12, 24) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}

b) Đúng.

 Bài 2: Tìm:

a) ƯCLN(1, 16);                                                  b) ƯCLN(8, 20);

c) ƯCLN(84, 156);                                              c) ƯCLN(16, 40, 176).

Giải rút gọn:

a) ƯCLN(1, 16) = 1.

b) 8 = 2³ ; 20 = 2² . 5

=> ƯCLN(8, 20) = 2² = 4.

c) 84 = 2² . 3 . 7; 156 = 2² . 3 . 13

=> ƯCLN(84, 156) = 2² . 3 = 12.

d) 16 = 2⁴;  40 = 2³ . 5;  176 = 2⁴ . 11

=> ƯCLN(16, 40, 176) = 2³ = 8.

Bài 3:

a) Ta có ƯCLN(18, 30) = 6. Hãy viết tập hợp A các ước của 6. Nêu nhận xét về tập hợp ƯC (18, 30) và tập hợp A.

b) Cho hai số a và b. Để tìm tập hợp ƯC(a, b), ta có thể tìm tập hợp các ước của ƯCLN(a, b). Hãy tìm ƯCLN rồi tìm tập hợp các ước chung của:

i. 24 và 30;                                 ii. 42 và 98;                                 iii. 180 và 234.

Giải rút gọn:

a) A = {1; 2; 3; 6}; ƯC (18, 30) = {1; 2; 3; 6}

Nhận xét: Tập hợp ƯC (18, 30) giống với tập hợp A.

b) 

i.  24 = 2³ . 3;  30 = 2 . 3 . 5

=> ƯCLN(24, 30) = 2 . 3 = 6 = Ư(6) = {1; 2; 3; 6}.

ii. 42 = 2 . 3 . 7;  98 = 2 . 7²

=> ƯCLN(42, 98) = 2 . 7 = 14 = Ư(14) = {1; 2; 7; 14}.

iii. 180 = 2² . 3² . 5; 234 = 2 . 3² . 13

=> ƯCLN(180, 234) = 2 . 3² = 18 = Ư(18) = {1; 2; 3; 6; 9; 18}.

Bài 4: Rút gọn các phân số sau: ; ; .

Giải rút gọn:

+) ƯCLN(28, 42) = 14 => = .

+) ƯCLN(60, 135) = 15 => = .

+) ƯCLN(288, 180) = 36 => = .

Bài 5: Chị Lan có ba đoạn dây ruy băng màu khác nhau với độ dài lần lượt là 140 cm, 168 cm và 210 cm. Chị muốn cắt cả ba đoạn dây đó thành những đoạn ngắn hơn có cùng chiều dài để làm nơ trang trí mà không bị thừa ruy băng. Tính độ dài lớn nhất có thể của mỗi đoạn dây ngắn được cắt ra (độ dài mỗi đoạn dây ngắn là một số tự nhiên với đơn vị là xăng-ti-mét). Khi đó, chị Lan có được bao nhiêu đoạn dây nuy băng ngắn?

Giải rút gọn:

Độ dài lớn nhất có thể của mỗi đoạn dây ngắn được cắt ra chính là ƯCLN của 140, 168 và 210.

Ta có: 140 = 2² . 5 . 7;  168 = 2³ . 3 . 7;  210 = 2 . 3 . 5 . 7

=> ƯCLN(140, 168, 210) = 2 . 7 = 14.

=> Độ dài lớn nhất có thể của mỗi đoạn dây ngắn được cắt ra là: 14 cm.

- Mỗi đoạn dây khác nhau có thể cắt được số đoạn dây ngắn là:

• Đoạn dây dài 140 cm cắt được: 140 : 14 = 10 (đoạn).

• Đoạn dây dài 168 cm cắt được: 168 : 14 = 12 (đoạn).

• Đoạn dây dài 210 cm cắt được: 210 : 14 = 15 (đoạn).

- Số đoạn dây nuy băng ngắn chị Lan có được sau khi cắt là:

10 + 12 + 15 = 37 (đoạn dây).