Video giảng Toán 11 Cánh diều Chương III bài 1 Giới hạn của dãy số
Video giảng Toán 11 Cánh diều Chương III bài 1 Giới hạn của dãy số. Các kiến thức được truyền tải nhẹ nhàng, dễ hiểu. Các phần trọng tâm sẽ được nhấn mạnh, giảng chậm. Xem video, học sinh sẽ dễ dàng hiểu bài và tiếp thu kiến thức nhanh hơn.
Bạn chưa đủ điều kiện để xem được video này. => Xem video demo
Tóm lược nội dung
CHƯƠNG III. GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC
BÀI 1. GIỚI HẠN DÃY SỐ
Chào mừng các em đến với bài học ngày hôm nay!
Thông qua video này, các em sẽ nắm được các kiến thức và kĩ năng như sau:
- Nhận biết được khái niệm giới hạn của dãy số.
- Giải thích được một số giới hạn cơ bản như: và với là hằng số.
- Vận dụng được các giới hạn cơ bản và các phép toán giới hạn dãy số để tìm giới hạn của một số dãy số đơn giản (ví dụ: )
- Tính được tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn và vận dụng được kết quả đó để giải quyết một số tình huống thực tiễn giả định hoặc liên quan đến thực tiễn.
HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG
Trước khi vào bài, cô muốn các em thảo luận và trả lời:
Zénon (Zê – nông, 496 – 429 trước Công Nguyên) là một triết gia Hy Lạp ở thành phố Edée đã phát biểu nghịch lí như sau: Achilles (A – sin) là một lực sĩ trong thần thoại Hy Lạp, người được mệnh danh là “có đôi chân chạy nhanh như gió” đuổi theo một con rùa trên một đường thẳng. Nếu lúc xuất phát, rùa ở điểm A1 cách Achilles một khoảng bằng a khác 0. Khi Achilles chạy đến vị trí của rùa xuất phát thì rùa chạy về phía trước một khoảng (như Hình 1). Quá trình này tiếp tục vô hạn. Vì thế, Achilles không bao giờ đuổi kịp rùa.
Trên thực tế, Achilles không đuổi kịp rùa là vô lí. Kiến thức toán học nào có thể giải thích được nghịch lí Zénon nói trên là không đúng?
HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC
1. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ
Nội dung 1: Định nghĩa
Hôm nay, chúng ta sẽ có một thử thách nho nhỏ. Các em có tự tin vượt qua không? Đó là:
- Thực hiện HĐ1.
- Dãy số un có giới hạn 0 khi n tiến tới dương vô cực khi nào?
- Khi nào thì un =0?
- Hoàn thành luyện tập 1.
- Thực hiện HĐ2.
- Dãy số un có giới hạn hữu hạn là a khi n tiến tới dương vô cực khi nào?
- Hoàn thành luyện tập 2.
Video trình bày nội dung:
HĐ 1:
a) Khi n ngày càng lớn thì giá trị của un càng giảm dần về 0.
b) Ta có bảng:
(Bảng dưới)
Định nghĩa
Dãy số un có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu un nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu un =0 hay un→0 khi n→+∞. Ta còn viết là limun=0.
Nhận xét:
Nếu un ngày càng gần tới 0 khi n ngày càng lớn thì un =0
Ví dụ 1 (SGK -tr.60)
Luyện tập 1
a) Xét: un=0 với mọi n ∈ N*
Với mọi h > 0 bé tùy ý, ta có:
|un | <h với mọi n ∈ N*
Vậy lim 0 = 0.
b) Xét: un=1n với mọi n ∈ N*
Với mọi h>0 bé tùy ý, ta có
un <h⟺1n<h ⟺n>1h⟺n>1h2
Vậy với các số tự nhiên n lớn hơn 1h2 thì un <h.
Theo định nghĩa, ta có 1n=0 .
HĐ 2:
Ta có un-2=n→+∞ 1n=0.
Định nghĩa
Dãy số un có giới hạn hữu hạn là a khi n dần tới dương vô cực, nếu lim un-a=0. Khi đó, ta viết un =a hay limun=a hay un→a khi n→+∞.
Ví dụ 2 (SGK -tr.61)
Chú ý:
+ Một dãy số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất
+ Không phải dãy số nào cũng có giới hạn, chẳng hạn như dãy số un với un=-1n.
Luyện tập 2
Đặt un=-4n+1n
Do un+4 =1n =0
Vậy -4n+1n=-4
Nội dung 2: Một số giới hạn cơ bản
Các em thảo luận trả lời câu hỏi:
- Nêu một số giới hạn cơ bản.
- Hoàn thành luyện tập 3.
Video trình bày nội dung:
Ta thừa nhận các giới hạn sau
a) 1n=0; lim1nk=0 với k là số nguyên dương cho trước;
b) cn=0; cnk=0; với c là hằng số, k là số nguyên dương cho trước.
c) Nếu q<1 thì qn =0;
d) Dãy số un với un=1+1nn có giới hạn là một số vô tỉ và gọi giới hạn đó là e.
e=1+1nn
Một giá trị gần đúng của e là 2,718281828459045.
Ví dụ 3 (SGK -tr.62)
Luyện tập 3
Ta có 0< e<1 do đó en =0.
2. ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN
Các em hãy cùng nhau thảo luận nhóm và chọn ra đại diện trình bày kết quả nhé!
- Thực hiện HĐ3.
- Nêu định lí về giới hạn hữu hạn của một tổng, của một hiệu, của một tích, của một thường và của một số căn thức.
- Hoàn thành luyện tập 4.
Video trình bày nội dung:
HĐ 3.
a)
( vn-4)=4-2n-4 =0vn =4
b)
limun + limvn = 8 + 4 = 12.
Ta có: un + vn =8+1n+4-2n=12-1n
Ta lại có:
un+vn-12 = lim12-1n-12=0
Suy ra
un+vn=12
Vậy lim(un + vn) = limun + limvn.
c) Ta có:
un.vn=8+1n4-2n=32-12n-2n2
Suy ra un.vn =32
Ta có:
un . limvn = 8.4 = 32
Vậy limun.limvn = lim(unvn).
Kết luận
a) Nếu un =a,vn =b thì:
- limun+vn=a+b
- limun-vn=a-b
- limunvn=a⋅b
- limunvn=abb≠0
b) Nếu un≥0,∀n∈N* và limun=a thì
a≥0 và limun=a.
Ví dụ 4 (SGK -tr.62)
Luyện tập 4 (SGK -tr.63)
a) 8n2+nn2 =8+1n =8 +1n =8
b) 4+n2n =4n2+1 =4n2+1 =1
3. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN
Để kiểm tra xem các em đã hiểu bài đến đâu, cô sẽ đưa ra một số câu hỏi nhỏ nhé!
- Thực hiện HĐ4.
- Thế nào là cấp số nhân lùi vô hạn.
- Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đã cho?
- Hoàn thành luyện tập 5 và luyện tập 6.
Video trình bày nội dung:
HĐ 4:
a) Ta có q<1
b) Sn=1.1-12n1-12=21-12n
Sn =2 .1-12n =2
Kết luận
Cấp số nhân vô hạn u1,u1q, …., u1qn-1,… có công bội q thỏa mãn q<1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đã cho là:
S=u1+u1q+…+u1qn-1+…=u11-q
Ví dụ 5 (SGK -tr.63)
Ví dụ 6 (SGK -tr.63)
Luyện tập 5
Ta có dãy số 1; -12;122;…;-12n-1;.. là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u1=1 và công bội q=-12
Nên M=11--12=23
Luyện tập 6
Thời gian Achilles chạy hết các quãng đường có độ dài 100 km, 1 km, 1100 km, 11002 km,... lần lượt là 1h, 1100h, 11002 h,11003h,…
Vậy thời gian đi hết quãng đường trên là
T=1+1100+…+1100n+…
Ta có t=Tn =100991-1100n=10099
Vậy Archilles đuổi kịp rùa sau 10099giờ.
4. GIỚI HẠN VÔ CỰC
Các em tiếp tục thảo luận trả lời câu hỏi:
- Thực hiện HĐ5.
- Khi nào ta nói nói dãy số (un) có giới hạn là +∞?
- Khi nào ta nói nói dãy số (un) có giới hạn là -∞?
- Hoàn thành luyện tập 7 và luyện tập 8.
Video trình bày nội dung:
HĐ 5:
Ta có: khi n→+∞ thì n2→+∞
Khi đó un=n2 có thể lớn tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kết luận
- Ta nói dãy số un có giới hạn là +∞ khi n→+∞ nếu un lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu limun=+∞ hay un→+∞ khi n→+∞.
- Ta nói dãy số un có giói hạn là -∞ khi n→+∞ nếu lim-un=+∞.
Kí hiệu limun=-∞ hay un→-∞ khi n→+∞.
Ví dụ 7 (SGK -tr.64)
Luyện tập 7
Xét dãy số un=n3
Với M là số dương bất kì, ta thấy un=n3>M⟺n>3M.
Vậy với các số tự nhiên n>3M thì un>M.
Do đó, (-n3) =-∞.
Nhận xét:
+) limnk=+∞ (với k là số nguyên dương cho trước).
+) lim qn=+∞ (với q>1 là số thực cho trước.
+) Nếu un =a và vn =+∞ thì unvn=0 .
+) Nếu un =a, a>0 và vn =0, vn>0 với mọi n thì unvn =+∞.
+) un =+∞⇔-un =-∞
Ví dụ 8 (SGK -tr.64)
Luyện tập 8
n-1n2=1n-1n2 =0
……………………..
Nội dung video Bài 1 chương III còn nhiều phần rất hấp dẫn và thú vị. Hãy cùng đăng kí để tham gia học bài và củng cố kiến thức thông qua hoạt động luyện tập và vận dụng trong video.
Video bài giảng lớp 11 cánh diều
Video bài giảng lớp 11 chân trời sáng tạo
Video bài giảng lớp 11 kết nối tri thức
