Slide bài giảng toán 10 chân trời bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Tóm lược nội dung

BÀI 2. HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP VÀ TỔ HỢP

KHỞI ĐỘNG

Có bao nhiêu cách chọn 5 cầu thủ từ 11 cầu thủ?  Có bao nhêu cách sắp xếp 5 cầu thủ đó theo thứ tự để thực hiện loạt đá luân lưu? Bằng cách sử dụng quy tắc nhân, bạn có tìm được câu trả lời?

Đáp án: 

1. HOÁN VỊ

Bài 1: Sau giờ thực hành trải nghiệm, ba đội A, B, C bốc thăm để xác định thứ tự trình bày, thuyết mình về sản phẩm của mỗi đội.

a. Hãy liệt kê tất cả các kết quả bốc thăm có thể xảy ra.

b. Có tất cả bao nhiêu kết quả như vậy? Ngoài cách đếm lần lượt từng kết quả, có cách tìm nào nhanh hơn không

Đáp án: 

a. Tất cả các kết quả bốc thăm có thể xảy ra là: A, B, C;  A, C, B; B, A, C ; B, C, A; C,A,B ; C, B, A.

b. ⇒ có tất cả 6 kết quả như vậy. 

Cách khác: 

Vì mỗi cách sắp xếp ba đội A, B, C theo thứ tự gọi là hoán vị của ba đội này ⇒ Số hoán vị của ba đội = 3.2.1 = 6.

Bài 2: Một nhóm bạn gồm sáu thành viên cùng đi xem phim, đã mua sáu vé có vé ngồi cùng dãy và kế tiếp nhau (như Hình 3). Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho các thành viên của nhóm?

Đáp án: 

Mỗi cách sắp xếp 6 thành viên vào 6 ghế ngồi cùng dãy theo thứ tự là một hoán vị của 6 thành viên. => số cách sắp xếp sáu thành viên vào 6 ghế ngồi là: P₆= 6.5.4.3.2.1 =  720 (cách)

Bài 3: Một giải bóng đá có 14 đội bóng tham gia. Có bao nhiêu khả năng về thứ hạng các đội bóng khi mùa giải kết thúc?

Đáp án: 

Mỗi thứ hạng của 14 đội bóng là một hoán vị của 14 đội bóng. => số khả năng  thứ hạng các đội bóng khi mùa giải kết thúc là: P₁₄= 14! (cách) 

2. CHỈNH HỢP

Bài 1: Tại một trạm quan sát, có sẵn 5 lá cờ màu đỏ, trắng, xanh, vàng và cam (kí hiệu Đ, T, X, V, C). Khi cần báo một tín hiệu, người ta chọn 3 lá cờ và cắm vào ba vị trí có sẵn thành một hàng. (Hình 4)

a. Hãy chỉ ra ít nhất 4 cách chọn và cắm cờ để báo bốn tín hiệu khác nhau.

b. Bằng cách này, có thể báo nhiều nhất bao nhiêu tín hiệu khác nhau?

Đáp án: 

a. Bốn cách cắm cờ để báo 4 tín hiệu khác nhau:

Đỏ, xanh, vàng; đỏ, cam, vàng; trắng, vàng, đỏ; xanh, vàng, cam.

b. Chọn 3 lá cờ từ 5 lá cờ 

 Sắp xếp chúng theo thứ tự : một chỉnh hợp chập 3 của 5 lá cờ. 

Số các chỉnh hợp chập 3 của 5 lá cờ => số các chỉnh hợp này bằng: 5.4.3 = 60.

Vậy có thể báo nhiều nhất 60 tín hiệu khác nhau.

Bài 2: Từ bảy chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7, lập các số có ba chữ số đôi một khác nhau.

a. Có thể lập được bao nhiêu số như vậy?

b. Trong các số đó có bao nhiêu số lẻ?

Đáp án: 

a) Chọn 3 trong 7 chữ số sao cho 3 chữ số đôi một khác nhau là một chỉnh hợp chập 3 của 7. 

số có ba chữ số đôi một khác nhau.

b)

Chọn chữ số hàng đơn vị là chữ số lẻ. Có 4 cách chọn (chọn 2 hoặc 4)

Chọn 2 trong 6 chữ số còn lại tạo thành hàng chục và hàng đơn vị sao cho đôi một khác nhau là một chỉnh hợp chập 2 của 6 => có 

Áp dụng quy tắc nhân ta có: 4.30 = 120 số lẻ.

3. TỔ HỢP

Bài 1: Lan vừa mua 4 cuốn sách, kí hiệu là A, B, C và D. Bạn ấy dự định chọn ra 3 cuốn để đưa về quê đọc trong dịp nghỉ hè. 

a. Hãy liệt kê tất cả các cách Lan có thể chọn 3 cuốn sách từ 4 cuốn sách. Có tất cả bao nhiêu cách?

b. Lan dự định đọc lần lượt từng cuốn. Lan có bao nhiêu cách xếp thứ tự 3 cuốn đã chọn?

c. Lan có bao nhiêu cách chọn 3 cuốn sách từ 4 cuốn sách và sắp xếp theo thứ tự để đọc lần lượt từng cuốn một?

Đáp án: 

Bài 2: Tính 

a.

b.

c.

Đáp án: 

Bài 3: Nội dung thi đấu đôi nam nữ của giải bóng bàn cấp trường có 7 đội tham gia. Các đội thi đấu vòng tròn một lượt.

a. Nội dung này có tất cả bao nhiêu trận đấu?

b. Sau giải đấu ba đội có thành tích tốt nhất sẽ được chọn đi thi đấu cấp liên trường. Có bao nhiêu khả năng có thể xảy ra về ba đội được chọn đi thi đấu cấp liên trường?

Đáp án: 

a) Mỗi cách chọn 2 trong 7 đội tham gia thi đấu là một tổ hợp chập 2 của 7 đội. Có tất cả số trận đấu là: 

(cách)

b) 

Cách chọn 3 đội có thành tích tốt nhất trong 7 đội tham gia là một tổ hợp chập 3 của 7 đội. Số khả năng có thể xảy ra về ba đội được chọn đi thi đấu cấp liên trường là:

(cách)

Cách chọn 3 trong 6 điểm đã cho là một tổ hợp chập 3 của 6 điểm. Số tam giác có đỉnh thuộc các điểm đã cho là:

=20 (cách) 

Bài 4: Cho 6 điểm cùng nằm trên một đường tròn như Hình 8.

a. Có bao nhiêu đoạn thẳng có điểm đầu mút thuộc các điểm đã cho?

b. Có bao nhiêu tam giác có đỉnh thuộc các điểm đã cho?

Đáp án: 

a) Cách chọn 2 trong 6 điểm đã cho là một tổ hợp chập 2 của 6 điểm. Số đoạn thẳng có điểm đầu mút thuộc các điểm đã cho:

(cách)

b) Cách chọn 3 trong 6 điểm đã cho là một tổ hợp chập 3 của 6 điểm. Số tam giác có đỉnh thuộc các điểm đã cho:

=20 (cách) 

4. TÍNH SỐ CÁC HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY

Bài 1: Sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị các biểu thức sau:

a.

b.

c.

Đáp án: 

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1:  Cần xếp một nhóm 5 học sinh ngồi vào một dãy 5 chiếc ghế.

a. Có bao nhiêu cách xếp?

b. Nếu bạn Nga (một thành viên trong nhóm) nhất định muốn ngồi vào chiếc ghế ngoài cùng bên trái, thì có bao nhiêu cách xếp?

Đáp án: 

a. Mỗi cách xếp 5 học sinh vào 5 chiếc ghế là 1 hoán vị của 5 học sinh

⇒  5! = 5.4.3.2.1 = 120 (cách)

b.

• CĐ1: Xếp Nga vào chiếc ghế ngoài cùng bên trái ⇒ có 1 (cách)

• CĐ2: Xếp 4 học sinh còn lại vào 4 chiếc ghế còn lại là 1 hoán vị của  4 học sinh ⇒ Có: 4!= 4.3.2.1  = 24 (cách)

⇒ Áp dụng quy tắc nhân, có: 1.24 =24 cách xếp thỏa mãn.

Bài 2: Từ các chữ số sau đây, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau?

a. 1; 2; 3; 4; 5; 6.

b. 0; 1; 2; 3; 4; 5

Đáp án: 

a) Chọn 4 trong 6 chữ số đã cho lập thành số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là một chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử.

Số các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau : 

số có 4 chữ số khác nhau.

b)

+ CĐ1: Chọn chữ số hàng nghìn là chữ số khác 0 Có 5 cách.

+ CĐ2: Chọn 3 chữ số trong 5 chữ số còn lại là một chỉnh hợp chập 3 của 5

  Có = 60 cách.

Quy tắc nhân, có 5.60 = 300 số thỏa mãn.

Bài 3: Tổ Một có 4 bạn nam và 5 bạn nữ. Có bao nhiêu cách cử 3 bạn của tổ làm trực nhật trong mỗi trường hợp sau?

a. 3 bạn được chọn bất kì

b. 3 bạn gồm 2 nam và 1 nữ.

Đáp án: 

a) Chọn 3 bạn bất kì trong 9 trong tổ trực nhật là một tổ hợp chập 3 của 9 bạn 

(cách).

b) Việc chọn 3 bạn gồm 2 nam và 1 nữ của tổ làm trực nhật gồm 2 công đoạn:

Áp dụng quy tắc nhân có 6.5 = 30 cách chọn thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Bài 4: Từ một danh sách gồm 8 người, người ta bầu ra một ủy ban gồm một chủ tịch, một phó chủ tịch, một thư kí và một ủy viên. Có bao nhiêu khả năng có thể về kết quả bầu ủy ban này?

Đáp án: 

Việc chọn bầu ra một ủy ban gồm một chủ tịch, một phó chủ tịch, một thư kí và một ủy viên gồm 4 công đoạn:

Áp dụng quy tắc nhân: 8.7.6.5 = 1680 (cách chọn)

Vậy có 1680 khả năng về kết quả bầu ủy ban này.

Bài 5: Một nhóm gồm 7 bạn đến trung tâm chăm sóc người cao tuổi làm từ thiện. Theo chỉ dẫn của trung tâm, 3 bạn hỗ trợ đi lại, 2 bạn hỗ trợ tắm rửa và 2 bạn hỗ trợ ăn uống. Có bao nhiêu cách phân công các bạn trong nhóm làm các công việc trên?

Đáp án: 

Việc phân công các bạn trong nhóm làm các công việc theo chỉ dần của trung tâm gồm 3 công đoạn:

Áp dụng quy tắc nhân có: 35.6.1 = 210 cách chọn thỏa mãn yêu cầu đề.

Bài 6:  Có 4 đường thẳng song song cắt 5 đường thẳng song song khác tạo thành những hình bình hành (như Hình 10). Có bao nhiêu hình bình hành được tạo thành?

Đáp án: 

Vì cứ hai đường thẳng song song trong nhóm này và 2 đường thẳng song song trong nhóm kia cắt nhau tạo thành một hình bình hành.

Vậy có tất cả 6.10=60 hình bình hành được tạo thành.

Bài 7: Mùa giải 2019, giải bóng đá vô địch quốc gia (V.League) có 14 đội bóng tham giá. Các đội bóng đấu vòng tròn hai lượt đi và về. Hỏi cả giải đấu có bao nhiêu trận đấu?

Đáp án: 

Chọn 2 trong 14 đội bóng tham gia để thi đấu lượt đi là một tổ hợp chập 2 của 14

(trận)

Cả giải đấu lượt đi và về có số trận đấu là: 2.91 = 182 (trận)