Slide bài giảng toán 10 chân trời bài 2: định lí côsin và sin

Tóm lược nội dung

BÀI 2. ĐỊNH LÝ COSIN VÀ ĐỊNH LÝ SIN

KHỞI ĐỘNG 

Làm thế nào để tính độ dài cạnh chưa biết của hai tam giác dưới đây?

Trả lời rút gọn: 

• Hình 1 : Pytago: = + = + ⇒ BC = 5

• Hình 2 : Côsin trong tam giác:
• 

1. ĐỊNH LÍ CÔSIN TRONG TAM GIÁC

Bài 1: 

a. Cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông với góc A  nhọn và . Vẽ đường cao CD và đặt tên các độ dài như trong Hình 1.

Hãy thay ? bằng chữ cái thích hợp để chứng minh công thức a² = b² + c² - 2bc.cosA theo gợi ý sau:

• Xét tam giác vuông BCD, ta có a² = d² + (c - d)² =  d² + x² + c² – 2xc (1)

• Xét tam giác vuông ACD, ta có b² = d² + x² d² = b² - x²        (2)

• cosA = ⇒ ? = bcosA.                                                                     (3)

Thay (2) và (3) vào (1), ta có: a² = b² + c² - 2bc.cosA

Lưu ý: Nếu thì ta vẽ đường cao BD và chứng minh tương tự.

b. Cho tam giác ABC với góc A tù. Làm tương tự như trên, chứng minh rằng ta cũng có:

a² = b² + c² - 2bc.cosA

Lưu ý: Vì A là góc tù nên cosA = -

c. Cho tam giác ABC vuông tại A. Hãy chứng tỏ công thức a² = b² + c² - 2bc.cosA có thể viết là a² = b² + c² 

Trả lời rút gọn: 

a) cosA = x = bcosA.

b) 

Xét ∆ CDB vuông tại D, có:

a² = d² + (c + x)²    (4)

Xét ∆ CDA vuông tại D, có:

b² = d² + x² d² = b² - x²     (5)

Có cos = - cos = -

  x = -bcosA           (6)

Thay (5), (6) vào (4), ta có: a² = b² + c² - 2bc.cosA

c) ∆ ABC vuông tại A = 90

Có: a² = b² + c² - 2bc.cosA ⬄ a² = b² + c² - 2bc.cos90 ⬄ a² = b² + c²

Bài 2: Tính các cạnh và các góc chưa biết của tam giác ABC trong Hình 4. 

Trả lời rút gọn: 

Áp dụng côsin trong ∆ABC, có:

BC² = AC² + AB² - 2AC. AB cosA = 14² + 18² - 2. 14. 18. cos62 283,3863

BC = 16,834

Theo côsin, có:

Vậy BC 16,834; 7045’; 4715’

Bài 3: Tính khoảng cách giữa hai điểm ở hai đầu của một hồ nước. Biết từ một điểm cách hai đầu hồ lần lượt là 800 m và 900 m người quan sát nhìn hai điểm này dưới một góc 70 (Hình 5).

Trả lời rút gọn: 

Áp dụng côsin trong ΔABC, ta có:

BC² = AB² + AC² - 2AB.AC.cosA

       = 800² + 900² - 2. 800. 900.cos70

       ≈ 957490,9936

BC ≈ 978,5147

Vậy khoảng cách giữa hai điểm là 978,5147m.

2. ĐỊNH LÍ SIN TRONG TAM GIÁC

Bài 1: 

a. Cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông có BC = a, AC = b, AB = c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Vẽ đường kính BD.

i. Tính sin theo a và R.

ii. Tìm mối liên hệ giữa và . Từ đó chứng minh rằng 2R =

b. Cho tam giác ABC với góc A vuông. Tính sinA và so sánh a với 2R để chứng tỏ ta vẫn có công thức 2R =

Trả lời rút gọn: 

a)

i) Δ BDC vuông tại C, có:

sin = =

ii) Δ ABC có góc A nhọn, có:

= (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC).

sin = sin = 2R =  

Với Δ ABC có góc A tù, có tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn tâm O.

+ = 180 

sin = sin(180) = sin = 2R =

b) 

Δ ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn tâm O 

R = 2R = a (1)

Có: sinA = sin90 = 1 (2)

Từ (1) ; (2) 2R = =

Bài 2: Tính các cạnh và các góc chưa biết của tam giác MNP trong Hình 8.

Trả lời rút gọn: 

Có: = 180 - - = 180 - 34 - 112 = 34

Δ MNP cân tại N MN = NP = 22

Áp dụng định lí sin trong tam giác, có:

= = = 2R

=> MP = = ≈ 36,5.

Bài 3: Trong một khu bảo tồn, người ta xây dựng một tháp canh và hai bồn chứa nước A, B để phòng hỏa hoạn. Từ tháp canh, người ta phát hiện đám cháy và số liệu đưa về như hình 9. Nên dẫn nước từ bồn chứa A hay B để dập tắt đám cháy nhanh hơn?

Trả lời rút gọn: 

Gọi tháp canh là C, cháy là D.

Có: = 180 - 35 - 125 = 20

Áp dụng định lí sin cho Δ CBD, có: 

= = = 2R

=> BD = = ≈ 1509,3 (m)

CD = = ≈ 2155,5 (m)

Áp dụng côsin trong Δ ACD, ta có:

AD² = CA² + CD² - 2AC. CD. cos

        = 1800² + 2155,5² - 2. 1800. 2155,5. cos34 ≈ 1453014,5

AD ≈ 1205, 4(m)

AD < BD 

=> Dẫn nước từ bồn chứa A sẽ dập tắt đám cháy nhanh hơn.

3. CÁC CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC

Bài 1: Cho tam giác như Hình 10.

a. Viết công thức tính diện tích S của tam giác ABC theo a và

b. Tính theo b và sinC.

c. Dùng hai kết quả trên để chứng minh công thức S = ab.sinC.

d. Dùng định lí sin và kết quả ở câu c) để chứng minh công thức S =

Trả lời rút gọn: 

a) ΔABC, đường cao AH:

S_ABC = . AH. BC = . h_a. a        (1)

b) Δ AHC vuông tại H,có:

sinC = = h_a = b. sinC   (2)

c) Thay (2) vào (1): S = absinC.

d) Áp dụng định lí sin, có:

= = = 2R

sinC =

S = absinC = ab. =

Bài 2: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c và (1; r) là đường tròn nội tiếp tam giác (Hình 11).

a. Tính diện tích các tam giác IBC, IAC, IAB theo r và a, b, c.

b. Dùng kết quả trên để chứng minh công thức tính diện tích tam giác ABC: S =

Trả lời rút gọn: 

Bài 3: Tính diện tích tam giác ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trong các trường hợp sau:

a. Các cạnh b = 14, c = 35 và  

b. Cách cạnh a = 4, b = 5, c = 3.

Trả lời rút gọn: 

a) S = bcsinA = . 14. 35. sin60 =

Định lí côsin, có:

a² = b² + c² - 2bc cosA = 14² + 35² - 2. 14. 35. cos60 = 931

a = 7

Định lí sin, có:

R = = =

b) Có: p = . (4 + 5 + 3) = 6

Áp dụng Heron, có:

S =  

= = 6

Có: S = R = = = .

Bài 4: Tính diện tích một cánh buồm hình tam giác. Biết cánh buồm đó có chiều dài cạnh là 3,2m và hai góc kề cạnh đó có số đo là 48 và 105 (Hình 12)

Trả lời rút gọn: 

A, B, C như hình

Có: = 180 - 48 = 27

Định lí sin, ta có: 

= = = 2R BC = = ≈ 6,8 (m)

S = AB. BC. sinB ≈ . 3,2. 6,8. sin48

≈ 8,08 (m²)

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1. Tính độ dài cạnh x trong các tam giác sau:

Trả lời rút gọn: 

Bài 2. Tính độ dài cạnh c trong tam giác ABC ở Hình 14. 

Trả lời rút gọn: 

Định lí sin, có:

Bài 3. Cho tam giác ABC, biết cạnh a = 152, Tính các góc, các cạnh còn lại và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Trả lời rút gọn: 

Có:

Định lí sin, có:

=> b =

=> c =

R =

Bài 4. Một công viên có dạng hình tam giác với các kích thước như Hình 15. Tính số đo các góc của tam giác đó.

Trả lời rút gọn: 

Định lý cosin, có:

⬄

⬄

=>

Bài 5. Tính diện tích một lá cờ hình tam giác cân có độ dài cạnh bên là 90cm và góc ở đỉnh là 35

Trả lời rút gọn: 

Diện tích của lá cờ là: 

Bài 6. Cho tam giác ABC có AB = 6, AC = 8 và  =60.

a. Tính diện tích tam giác ABC.

b. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính diện tích tam giác IBC.

Trả lời rút gọn: 

a) .

b) Có: .

Vậy

Bài 7. Cho tam giác ABC có trọng tâm G và độ dài ba cạnh AB; BC; CA lần lượt là 15, 18, 27.

a. Tính diện tích và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

b. Tính diện tích tam giác GBC.

Trả lời rút gọn: 

a) Nửa chu vi của Δ là:

=>

b) là trọng tâm của Δ  

=>

Bài 8. Cho là đường cao vẽ từ đỉnh A, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh hệ thức: = 2R.sinB.sinC.

Trả lời rút gọn: 

S =

 S = absinC

⇒ ⬄ = b.sinC    (1)

Định lí sin, có: = 2R

⇒ b = 2RsinB  (2)

Từ (1) và (2) ⇒ ha = 2R.sinB.sinC (đpcm)

Bài 9. Cho tam giác ABC có góc B nhọn, AD và CE là hai đường cao.

a. Chứng minh rằng

b. Biết rằng và DE = 2 .Tính cosB và bán kính dường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Trả lời rút gọn: 

a) 

vì

b) và lần lượt vuông tại , có:

{

Tứ giác nội tiếp đường tròn, 2R =

(cùng bù )

∽

=> tỉ số đồng dạng của hai tam giác trên là .

( B góc nhọn).

có: (đường tròn ngoại tiếp , là bán kinh)

  có

Bài 10. Cho tứ giác lồi ABCD có các đường chéo AC = x, BD = y và góc ở giữa AC và BD bằng α. Gọi S là diện tích của tứ giác ABCD.

a. Chứng minh S = sinα

b. Nêu kết quả trong trường hợp AC ⊥ BD.

Trả lời rút gọn: 

1.  

2. Vẽ AH ⊥ BD ; CK ⊥ BD

3. Gọi AC ⋂ BD = {I}

4.  Có AH = AI.sinα; CK = CI.sinα

5. SABCD = AH. BD + CK. BD 

6. = BD(AH + CK) = BD(AI + IC).sinα = BD.ACsinα

7. ⇒ S =  .sinα (đpcm)

8. b. AC ⊥ BD thì sinα = 1, S =

9. Tứ giác lồi ABCD có AC ⊥ BD thì S của tứ giác = AC.BD