Slide bài giảng toán 10 chân trời bài 1: Tọa độ của vectơ

Tóm lược nội dung

BÀI 1. TOẠ ĐỘ CỦA VECTO

KHỞI ĐỘNG

Hãy tìm cách xác định vị trí của các quân mã trên bàn cờ vua.

Đáp án: 

Gắn bàn cờ vua với hệ trục tọa độ Oxy, các quân mã có tọa độ (x; y).

1. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ ĐỐI VỚI MỘT HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

Bài 1: Hãy nêu nhận xét về độ lớn, phương và chiều của  trên trục Ox và  trên trục Oy (Hình 1).

Đáp án: 

Độ lớn của  = độ lớn của , phương và chiều của hai vectơ ⊥với nhau.

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho một vectơ  tùy ý. Vẽ =   và gọi A₁, A₂ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên Ox và Oy (hình 4). Đặt = , = . Biểu diễn vectơ  theo hai vectơ  và

Đáp án: 

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M. Xác định tọa độ của vectơ

Đáp án: 

= {x;y}

Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm D(-1; 4), E(0; -3), F(5; 0).

a. Vẽ các điểm D, E, F trên mặt phẳng Oxy.

b. Tìm tọa độ của các vectơ , , .

c. Vẽ và tìm tọa độ của hai vectơ đơn vị ,  lần lượt trên hai trục tọa độ Ox, Oy.

Đáp án: 

a.

b) Do D(-1; 4), E(0; -3), F(5; 0) => = (-1; 4), = (0; -3), = (5; 0)

c) = (1; 0), = (0; 1)

Bài 5: Một máy bay đang cất cánh với tốc độ 240 km/h theo phương hợp với phương nằm ngang một góc 30∘ (Hình 7).

a. Tính độ dài mỗi cạnh của hình chữ nhật ABCD.

b. Biểu diễn vectơ vận tốc  theo hai vectơ  và .

c. Tìm tọa độ của

Đáp án: 

a) 

AB = DC = AC.cos 30^o = 240.cos30^o = 120 (km)

BC = AD = AC.sin30^o = 240.sin30^o = 120 (km)

b) = 120 + 120

c) = (120; 120)

2. BIỂU ĐỒ TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai vectơ a⃗  = (a₁; a₂), b⃗  = (b₁; b₂) và số thực k. Ta đã biết có thể biểu diễn từng vectơ a⃗ , b⃗  theo hai vectơ i⃗ , j⃗  như sau: a⃗  = + ; b⃗  = + .

a. Biểu diễn từng vectơ: + , - , k   theo hai vectơ ; .

b. Tìm a⃗ . b⃗  theo tọa độ của hai vectơ a⃗  và b⃗ .

b) . = -6. 0 + 1. (-2) = -2

(10).(-4) = -60. 0 + 10. 8 = 80

Bài 3: Một thiết bị thăm dò đáy biển đang lặn với vận tốc v⃗  = (10; -8) (Hình 8). Cho biết vận tốc của dòng hải lưu vùng biển là w⃗  = (3,5; 0). Tìm tọa độ tổng hai vận tốc v⃗  và w⃗ .

Đáp án: 

+ = (10 +3,5; -8 + 0) = (13,5; -8)

3. ÁP DỤNG CỦA TỌA ĐỘ VECTƠ

Bài 1: Cho hai điểm A(x_A; y_A), B(x_B; y_B). Từ biểu thức = - , tìm tọa độ vectơ theo tọa độ hai điểm A, B.

Đáp án: 

Vì A(; ), B(; ) 

= {; ); = (; )

Có: = - = ( - ; - )

Bài 2: Cho E(9; 9); F(8; - 7), G(0; -6). Tìm tọa độ của các vectơ

Đáp án: 

= ( - ; - ) = (9 - 8; 9 - (-7)) = (1; 16)

= ( - ; - ) = (0 - 8; -6 -(-7)) = (-8; 1)

= ( - ; - ) = (0 - 9; -6 - 9) = (-9; -15)

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có tọa độ ba đỉnh là A (x_A; y_A)_; B (x_B; y_B) và C (x_c; y_c). Gọi M(x_M; y_M) là trung điểm của đoạn thẳng AB, G(x_G; y_G) là trọng tâm của tam giác ABC.

a. Biểu thị vectơ  theo hai vectơ  và .

b. Biểu thị vectơ theo ba vectơ

c. Từ các kết quả trên, tìm tọa độ điểm M và G theo tọa độ của các điểm A, B, C.

Đáp án: 

b. Giải tam giác DEF.

Đáp án: 

a) H(x; y), có: = (x - 2; y - 2), = (x - 6; y - 2), = (-4; 4)

H(x; y) là chân đường cao của △ DEF kẻ từ D, nên ta có:

• . (x - 2).(-4) + (y - 2). 4 = 0 -4x + 4y = 0 (1)

• Hai vectơ , cùng phương (x - 6). 4 - (y - 2). (-4) = 0 4x + 4y - 32 = 0 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Vậy H(4; 4)

b) Có: = (4; 0); = (0; 4); = (-4; 4)

DE = || = = 4

DF = || = = 4

EF = || = =

cosD = cos(, ) = = = 0 =

Nhận thấy △ DEF vuông cân tại D = =

    Khoảng cách từ con tàu đến hòn đảo C: AC 60,1 (km)

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1:  Trên trục (O; ) cho các điểm A, B, C, D có tọa độ lần lượt là 4; -1; -5; 0.

a. Vẽ trục và biểu diễn các điểm đã cho lên trên trục đó.

b. Hai vectơ và cùng hướng hay ngược hướng.

Đáp án: 

a.

b. Hai vectơ và  ngược hướng nhau.

Bài 2: Chứng minh rằng:

a. a⃗  = (4; -6) và b⃗  = (-2; 3) là hai vectơ ngược hướng.

b. a⃗  = (-2; 3) và b⃗  = (-8; 12) là hai vectơ cùng hướng.

c. a⃗  = (0; 4) và b⃗  = (0; -4) là hai vectơ đối nhau.

Đáp án: 

a.  a⃗  = -2b⃗  ⇒ a⃗  và b⃗  ngược hướng.

b.  a⃗  = 4b⃗  ⇒ a⃗  và b⃗  cùng hướng.

c. Có:

 a⃗  = -b⃗  mà |a⃗ | = |b⃗ | = 4

⇒ a⃗  và b⃗  là hai vectơ đối nhau.

Bài 3:  Tìm tọa độ các vectơ sau:

a. a⃗  = 2i⃗ +7j⃗ ;

b. b⃗  = −i⃗ +3j⃗ ;

c. c⃗  = 4i⃗ ;

d. d⃗  = −9j⃗ .

Đáp án: 

a) = (2; 7);        b) = (-1; 3);        c) = (4; 0);        d) = (0; -9)

Bài 4: Cho bốn điểm A(3; 5), B(4; 0), C(0; -3), D(2; 2). Trong các điểm đã cho, hãy tìm điểm:

a. Thuộc trục hoành;

b. Thuộc trục tung;

c. Thuộc đường phân giác của góc phần tư thứ nhất

Đáp án: 

a. B(4; 0) ∈ Ox

b. C(0; -3) ∈ Oy.

c. D(2; 2) ∈ đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.

Bài 5: Cho điểm M(x₀; y₀). Tìm tọa độ:

a. Điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Ox;

b. Điểm M' đối xứng với M qua trục Ox;

c. Điểm K là hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Oy;

d. Điểm M'' đối xứng với M qua trục Oy.

e. Điểm C đối xứng với điểm M qua gốc tọa độ.

Đáp án: 

a) H(; 0) là hình chiếu ⊥ của M trên trục Ox;

b) M' đối xứng với M qua trục Ox H là trung điểm của MM'

Vậy M'(; ).

c) K(0; ) là hình chiếu ⊥ của điểm M trên trục Oy.

d) M'' đối xứng với M qua trục Oy K là trung điểm của MM''

Vậy M''(; ).

e) C đối xứng với M qua gốc tọa độ O nên O là trung điểm của CM.

Vậy C(; ).

Bài 6: Cho ba điểm A(2; 2); B(3; 5), C(5; 5).

a. Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.

b. Tìm tọa độ giao điểm hai đường chéo của hình bình hành.

c. Giải tam giác ABC.

Đáp án: 

a) D(x; y).   = (1; 3); = (5 - x; 5 - y)

ABCD là hình bình hành ⇔ =  

Vậy D(4; 2)

b) Gọi M là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD.

Vậy M(; )

c) Có: = (3; 3), = (2; 0)

=>  AB = || = =

             AC = || = =

             BC = || = = 2

             cosA = cos(,) = = =

             cosB = cos(,) = = =

             cosC = cos(,) = = = =

Bài 7: Cho tam giác ABC có các điểm M(2; 2), N(3; 4), P(5; 3) lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và CA.

a. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

b. Chứng minh rằng trọng tâm của tam giác ABC và MNP trùng nhau.

c. Giải tam giác ABC

Đáp án: 

a. = (3; 1) = (3 - x_B; 4 - y_B)

M là trung điểm cạnh AB, P là trung điểm cạnh AC => MP là đường trung bình của △ ABC

⇒ MP // BC và MP = BC = BN ⇒ MPNB là hình bình hành

⇒ =

⇒   ⬄   => B(0;3)

Có: N là trung điểm của BC nên   ⬄   ⬄

⇒ C(6; 5)

Có: M là trung điểm của AB nên  ⬄ ⬄

⇒ A(4; 1)

Vậy A(4;1), B(0; 3), C(6; 5)

b. Gọi G là trọng tâm △ ABC, ta có: 

 ⬄  ⬄    => G(;   (1)

Gọi G' là trọng tâm △ MNP, ta có:

 ⬄  ⬄    => G’(;   (2)

Từ (1) và (2) ⇒ G ≡ G'

Vậy trọng tâm △ ABC ≡ trọng tâm △MNP.

c. Có:  = (-4; 2);  = (2; 4); = (6; 2)

=> AB = | | =

            AC = | | =

            BC = | | =

            cosA = cos( , )=

Xét △ ABC có AB = AC (= ) và

⇒ △ ABC vuông cân tại A ⇒

Bài 8: Cho hai điểm A(1; 3), B(4; 2).

a. Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA = DB

b. Tính chu vi tam giác OAB.

c. Chứng minh rằng OA vuông góc với AB và từ đó tính diện tích tam giác OAB.

Đáp án: 

a. D nằm trên trục Ox nên D(x; 0) ⇒  = (x - 1; -3); = (x - 4; -2)

Có: DA = DB ⇒ (x−1)²+(−3)² = (x−4)²+(−2)²

⇔ x² - 2x + 1 + 9 = x² - 8x + 16 + 4 ⇔ 6x = 10 ⇔ x =

Vậy D(; 0)

b. Có:  = (1; 3); = (4; 2); = (3; -1)

=> OA = | | =

            OB = | | =

            AB = | | =

⇒ Chu vi △ OAB là: OA + OB + AB = =

c. Có: = 1. 3 + 3. (-1) = 0

⇒  

⇒

Bài 9: Tính góc xen giữa hai vectơ a⃗  và b⃗  trong các trường hợp sau:

a. a⃗  = (2; -3), b⃗  = (6; 4)

b. a⃗  = (3; 2); b⃗  = (5; -1)

c. a⃗  = (-2; −2), b⃗  = (3; )

Đáp án: 

a. cos (

b. cos (

c.