Bài tập về tính diện tích đa giác

1.

Xét $\Delta $ABC có a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB và r là khoảng cách từ giao điểm của các đường phân giác đến các cạnh.

Vì p là nửa chu vi nên p = $\frac{a+b+c}{2}$

Áp dụng tính chất cộng diện tích vào $\Delta $ABC ta có:

$S_{ABC}=S_{IBC}+S_{ICA}+S_{IAB}$

       = $\frac{a.r}{2}+\frac{b.r}{2}+\frac{c.r}{2}=r.\frac{a+b+c}{2}=p.r$

2. 

Nhận xét:

74 = $7^{2}+5^{2}$

116 = $10^{2}+4^{2}$

370 = $(10+7)^{2}+ (5+4)^{2}$

Vẽ $\Delta $ABC vuông ở A có AB = 5 + 4; AC = 10 + 7.

Dựng hình chữ nhật ADKE như hình vẽ.

Theo định lý Py-ta-go ta có: $BC^{2}= 370$; $BK^{2}=74$; $KC^{2}=116$

Vậy ba cạnh của $\Delta $BKC chính là ba cạnh của hồ nước.

Do đó:

$S_{BKC}=S_{ABC}-S_{BDK}-S_{KEC}-S_{ADKE}$

        = $\frac{17.19}{2}-\frac{5.7}{2}-\frac{4.10}{2}-4.7$  

        = 11 (ha)

Vậy diện tích của hồ là 11 ha.

3.

Gọi G là giao điểm của AD và BE; K, H thứ tự là giao điểm của FC với BE, AD.

Vì AB // DE nên khoảng cách A, B đến DE bằng nhau nên $S_{DEA}=S_{DEB}$ (vì chung đáy DE, chiều cao bằng nhau)

$\Rightarrow S_{DEA}-S_{DEB}=S_{DEB}-S_{DEB}$

$\Leftrightarrow S_{AGE}=S_{BDG}$ (1)

Chứng minh tương tự ta cũng được:

$S_{EKC}=S_{BKF}$ (2)

$S_{EKC}=S_{FHD}$ (3)

$S_{EKC}=S_{GHK}$ (4)

Cộng theo vế các đẳng thức (1), (2), (3), (4) ta được:

$S_{AGE}+S_{EKC}+S_{EKC}+S_{EKC}=S_{BDG}+S_{BKF}+S_{FHD}+S_{GHK}$

$\Leftrightarrow S_{ACE}=S_{BDF}$