Bài tập về chia đa giác thành các phần có diện tích bằng nhau

4.

Trường hợp 1: M trùng với B hoặc C.

Chia AC thành ba phần bằng nhau bằng cách trên cạnh AC lấy hai điểm D, E sao cho AD = DE = EC.

Khi đó $S_{ABD}=S_{DBE}=S_{EBC}$ (chiều cao từ B đến AC bằng nhau, đáy bằng nhau)

Vậy BD và BE là hai đường thẳng cần tìm (M trùng với C làm tương tự)

Trường hợp 2: M khác B và C.

Qua B kẻ một đường thẳng song song với AM cắt AC tại A1.

Chia A₁C thành ba phần bằng nhau bằng cách lấy hai điểm N₁, N₂ sao cho A₁N₁ = N₁N₂ = N₂C

Khi $S_{ABM}>\frac{1}{2}S_{ABC}$ thì MN₁, MN₂ là hai đường thẳng cần tìm.

Nếu N₁ không thuộc AC thì ta kẻ N₁K // AM thì ta được S_N1AK = S_AKM $\Leftrightarrow $ S_AKMN2 = S_MN2C

5. 

Qua A, B kẻ các đường thẳng theo thứ tự song song với ED, EC cắt đường thẳng CD lần lượt ở M, N. Khi đó khoảng cách từ A và M đến DE bằng nhau, từ B và N đến EC bằng nhau. Ta có:

S_DEM = S_DEA; S_CEN = S_CEB nên S_ABCD = S_EMN

Bài toán trở thành từ E kẻ một đường thẳng chia $\Delta $EMN thành hai phần có diện tích bằng nhau.

Do đó trung tuyến EI là đường thẳng cần dựng.