Bài tập về sử dụng các trường hợp đồng dạng của tam giác thường để tính toán

1.

Ta có:

$\frac{AB}{AH}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

$\frac{AH}{HC}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$

$\Rightarrow \frac{AB}{AH}=\frac{AH}{HC}$

$\Rightarrow \Delta HBA\sim \Delta HAC$ (2 cạnh góc vuông)

$\Rightarrow \widehat{B_{1}}=\widehat{A_{1}}$ và $\widehat{C_{1}}=\widehat{A_{2}}$

$\Rightarrow \frac{B_{1}+C_{1}}{1}=\frac{A_{1}+A_{2}}{1}=\frac{B_{1}+C_{1}+\widehat{BAC}}{2}=\frac{180^{\circ}}{2}=90^{\circ}$

Vậy $\widehat{BAC}=90^{\circ}$

2.

Ta có :

$\frac{AB}{BD}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

$\frac{BD}{DC}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow \frac{AB}{BD}=\frac{BD}{DC}$

$\Rightarrow \Delta BAD\sim \Delta DBC$ (c-g-c)

Theo định nghĩa hai tam giác đồng dạng ta có $\widehat{A}=\widehat{DBC}$

3.

a) Áp dụng tính chất của đường phân giác BD vào $\Delta $ABC, thu được:

$\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}\Rightarrow \frac{AD}{AB}=\frac{DC}{BC}=\frac{AD+DC}{AB+BC}=\frac{AC}{AB+BC}$

hay $\frac{AD}{20} =\frac{DC}{5}=\frac{AD+DC}{20+5}\frac{20}{20+5}=\frac{4}{5}$

Do đó AD = 16(cm), DC = 4(cm)

b) Kẻ AH $\perp $ BC, DK $\perp $ BC thì AH // DK và BH = HC = 2,5cm (tính chất của tam giác cân)

Áp dụng định lí Ta-lét vào $\Delta $ACH có AH // DK ta được:

$\frac{CK}{CH}=\frac{CD}{CA}$ hay $\frac{CK}{2,5}=\frac{4}{20}\Leftrightarrow CK=0,5$ (cm)

Do vậy BK = BC - CK = 5 - 0,5 = 4,5 (cm)

Áp dụng định lý Py-ta-go vào $\Delta $BDK và $\Delta $DCK vuông ta được:

$CD^{2}=CK^{2}+DK^{2}$

$BD^{2}=DK^{2}+KB^{2}$

$\Rightarrow CD^{2}-CK^{2}=BD^{2}-KB^{2}$

$\Leftrightarrow 4^{2}-0,5^{2}=BD^{2}-4,5^{2}$

$\Leftrightarrow BD^{2}=36$

$\Leftrightarrow BD=6$ (cm)