BÀI 6. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

PHẦN I. HỆ THỐNG BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 2.1: Trong không gian, cho ba vectơ , , phân biệt và đều khác . Những mệnh đề nào sau đây là đúng?

a) Nếu và đều cùng hướng với thì và cùng hướng.

b) Nếu và đều ngược hướng với thì và cùng hướng.

c) Nếu và đều cùng hướng với thì và ngược hướng.

d) Nếu và đều ngược hướng với thì và ngược hướng.

Bài 2.2: Cho hình hộp chữ nhật có và . Tính độ dài của các vectơ và .

Bài 2.3: Một chiếc bàn cân đối hình chữ nhật được đặt trên mặt sàn nằm ngang, mặt bàn song song với mặt bàn và bốn chân bàn vuông góc với mặt sàn như Hình 2.29. Trọng lực tác dụng lên bàn (biểu thị bởi vectơ ) phân tác đều qua bốn chân bàn và gây nên các phản lực từ mặt sàn lên các chân bàn (biểu thị bởi các vectơ , , , ).

a) Hãy chỉ ra mối quan hệ về phương và hướng của các vectơ và .

b) Giải thích vì sao các vectơ đôi một bằng nhau.

Bài 2.4: Cho hình hộp . Chứng minh rằng:

a) ;

b) ;

c) .

Bài 2.5: Cho hình lăng trụ tam giác có và . Hãy biểu diễn các vectơ sau qua các vectơ :

a) ;

b) ;

c) .

Bài 2.6: Cho hình chóp tứ giác . Chứng minh rằng tứ giác là hình bình hành nếu và chỉ nếu .

Bài 2.7: Cho hình chóp . Trên cạnh , lấy điểm sao cho . Trên cạnh , lấy điểm sao cho . Chứng minh rằng .

Bài 2.8: Trong Luyện tập 8, ta đã biết trọng tâm của tứ diện là một điểm thỏa mãn , ở đó là trọng tâm của tam giác . Áp dụng tính chất trên để tính khoảng cách từ trọng tâm của một khối rubik (đồng chất) hình tứ diện đều đến một mặt của nó, biết rằng chiều cao của khối rubik là 8 cm (H.2.30).

Bài 2.9: Ba sợi dây không giãn với khối lượng không đáng kể được buộc chung một đầu và được kéo căng về ba hướng khác nhau (H.2.31). Nếu các lực kéo làm cho ba sợi dây ở trạng thái đứng yên thì khi đó ba sợi dây nằm trên cùng một mặt phẳng. Hãy giải thích vì sao.

Bài 2.10: Cho hình lăng trụ tứ giác đều có độ dài mỗi cạnh đáy bằng 1 và độ dài mỗi cạnh bên bằng 2. Hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau đây và tính tích vô hướng của mỗi cặp vectơ đó:

a) ;

b) ;

c) .

Bài 2.11: Trong không gian, cho hai vectơ và cùng độ dài bằng 1. Biết rằng góc giữa hai vectơ đó là 45^o, hãy tính:

a) ;

b) (;

c) .

Bài 2.12: Cho tứ diện . Chứng minh rằng: 

a) ;

b) .

PHẦN II. 5 PHÚT GIẢI BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 2.1: Những câu đúng: a, b.

Bài 2.2:

(định lý Pythagore) 

Bài 2.3: a) Các vectơ và có cùng phương; các vectơ cùng hướng với nhau và ngược hướng với vectơ .

b) Các vectơ có độ lớn bằng nhau. Mà các vectơ cùng hướng với nhau. Do đó, các vectơ đôi một bằng nhau.

Bài 2.4: a) .

,

.

b)

c)

Bài 2.5: a) . 

b) .

c)

Bài 2.6: Gọi là tâm hình bình hành .

Suy ra, hai vectơ và cùng hướng và có độ lớn bằng nhau.

Suy ra, . Khi đó, tứ giác là hình bình hành.

Bài 2.7:

(đpcm)

Bài 2.8: Đặt tên khối rubik là tứ diện đều có là trọng tâm của tam giác , là trọng tâm của tứ diện . 

=>

Chiều cao của rubik bằng 8 cm nên cm => (cm)

Vậy khoảng cách từ trọng tâm của một khối rubik (đồng chất) hình tứ diện đều đến một mặt của nó bằng 2 cm.

Bài 2.9: Ta có cách đặt ba sợi dây theo vectơ dưới đây:

Lấy điểm sao cho tứ giác là hình bình hành (điểm nằm khác phía với điểm ).

Do đó, giá của các vectơ và cùng nằm trên mặt phẳng . (1)

là hình bình hành nên

Vì các lực kéo làm cho ba sợi dây ở trạng thái đứng yên nên , do đó hai vectơ và có giá cùng nằm trên mặt phẳng . (2)

Từ (1) và (2) suy ra ba vectơ và có giá cùng nằm trên mặt phẳng .

Vậy khi các lực kéo làm cho ba sợi dây ở trạng thái đứng yên thì khi đó ba sợi dây nằm trên cùng một mặt phẳng.

Bài 2.10: a)

.

b)  

c) =

Bài 2.11: a)

b)

c)

Bài 2.12: a)

b)