1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Hoạt động 1: Nhận biết vectơ trong không gian

Trong Hình 2.2, lực căng dây (được tạo ra bởi sức nặng của kiện hàng) được thể hiện bởi các đoạn thẳng có mũi tên màu đỏ. 

1. Các đoạn thẳng này cho biết gì về hướng và độ lớn của các lực căng dây?
2. Các đoạn thẳng này có cùng nằm trong một mặt phảng không?

Giải nhanh:

a. Các đoạn thẳng này có hướng lên trên 

Độ dài của các đoạn thẳng thể hiện cho độ lớn của các lực căng dây và được lấy tỉ lệ với độ lớn của các lực căng dây.

b. Không cùng nằm trên một mặt phẳng.

Luyện tập 1: Cho hình lập phương (H.2.6). Trong các vectơ , , :

1. Hai vectơ nào có giá cùng nằm trong mặt phẳng ?
2. Hai vectơ nào có cùng độ dài?

Giải nhanh:

1. và  
2. Vì là hình lập phương nên .

Tam giác vuông tại nên

Tam giác vuông tại nên

=> hay . 

Vậy hai vectơ và có cùng độ dài.

Hoạt động 2: Hình thành khái niệm hai vectơ cùng phương, cùng hướng/ngược hướng, hai vectơ bằng nhau trong không gian.

Cho hình hộp (H.2.7).

1. So sánh độ dài của hai vectơ và .
2. Nhận xét về giá của hai vectơ và .
3. Hai vectơ và có cùng phương không? Có cùng hướng không?

Giải nhanh:

1. .
2. Giá của và song song với nhau.
3. và cùng phương và cùng hướng.

Luyện tập 2: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành.

1. Trong ba vectơ , và , vectơ nào bằng vectơ ?
2. Gọi là một điểm thuộc cạnh . Xác định điểm sao cho .

Giải nhanh:

a.   là hình bình hành => , AB = CD => =  

và chéo nhau => và không cùng phương =>

và không cùng phương => và không bằng nhau.

b. Qua vẽ đường thẳng song song với cắt tại .

Tứ giác có: , => là hình bình hành => .

Mà => và cùng độ dài và cùng hướng => . 

Vậy điểm cần tìm là giao điểm của đường thẳng qua song song với và cạnh .

Vận dụng 1: Một tòa nhà có chiều cao của các tầng là như nhau. Một chiếc thang máy di chuyển từ tầng 15 lên tầng 22 của tòa nhà, sau đó di chuyển từ tầng 22 lên tầng 29. Các vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy trong hai lần di chuyển đó có bằng nhau không? Giải thích vì sao.

Giải nhanh:

Gọi vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy từ tầng 15 lên tầng 22 của tòa nhà là , tầng 22 lên tầng 29 của tòa nhà là .

Vì và đều dịch chuyển từ tầng thấp lên tầng cao => và có cùng hướng (1)

Độ dài vectơ là: , độ dài vectơ là: => (2)

(1) và (2) => . 

Vậy các vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy trong hai lần di chuyển đó có bằng nhau.

2. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Hoạt động 3: Hình thành khái niệm tổng của hai vectơ trong không gian.

Trong không gian, cho hai vectơ và không cùng phương. Lấy điểm và vẽ các vectơ , (H.2.10).

1. Giải thích vì sao và .
2. Giải thích vì sao là hình bình hành, từ đó suy ra .

Giải nhanh:

a) => và cùng hướng và cùng độ dài.

=> và cùng hướng và cùng độ dài.

và cùng hướng và cùng độ dài => và . 

=> là hình bình hành => , hai vectơ và có cùng hướng và cùng độ dài => .

Chứng minh tương tự, ta có .

b) và cùng hướng và cùng độ dài

  và cùng hướng và cùng độ dài

=> và cùng hướng và cùng độ dài => và  

=> là hình bình hành. 

=> và . 

=> và có cùng hướng và cùng độ dài => .

Luyện tập 3: Trong Ví dụ 3, hãy tính độ dài của vectơ .

Giải nhanh:

là hình lập phương => là hình vuông => .

Ta có: mà

=>

Luyện tập 4: Cho tứ diện (H.2.13). Chứng minh rằng .

Giải nhanh:

Hoạt động 4: Thiết lập quy tắc hình hộp.

Cho hình hộp (H.2.14).

1. Hai vectơ và có bằng nhau hay không?
2. Hai vectơ và có bằng nhau hay không?

Giải nhanh:

1. Vì là hình bình hành nên .
2. Ta có: (1)

Vì là hình hộp. => và là hình bình hành. 

=> , và , . 

=> và . 

=> là hình bình hành. 

=> (2)

Từ (1) và (2) =>

Luyện tập 5: Cho hình hộp chữ nhật . Chứng minh rằng .

Giải nhanh:

là hình chữ nhật => ,

là hình hộp chữ nhật =>

.

Hoạt động 5: Nhận biết vectơ đối của một vectơ trong không gian.

Hình 2.15 mô tả một lọ hoa được đặt trên bàn, trọng lượng của lọ hoa tạo nên một lực tác dụng lên mặt bàn và một phản lực từ mặt bàn lên lọ hoa. Có nhận xét gì về độ dài và hướng của các vectơ biểu diễn hai lực đó?

Giải nhanh:

Độ dài bằng nhau và hướng ngược nhau.

Luyện tập 6: Trong Ví dụ 6, chứng minh rằng:

1. và là hai vectơ đối nhau;
2. .

Giải nhanh:

a.   là hình bình hành => , . 

=> và

=> là hình bình hành

=> và . 

Hai vectơ và có cùng độ dài và ngược hướng nên và đối nhau.

b. Ta có: => .

Vận dụng 2: Thang cuốn tại các trung tâm thương mại, siêu thị lớn hay nhà ga, san bay thường có hai làn, trong đó có một làn lên và một làn xuống. Khi thang cuốn chuyển động, vectơ biểu diễn vận tốc của mỗi là có là hai vectơ đối nhau hay không? Giải thích vì sao.

Giải nhanh:

Vectơ biểu diễn vận tốc của mỗi làn có cùng độ lớn và hướng ngược nhau nên chúng là hai vectơ đối nhau.

3. TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Hoạt động 6: Hình thành khái niệm tích của một số với một vectơ trong không gian.

Cho hình lăng trụ tam giác . Gọi , lần lượt là trung điểm của (H.2.17).

1. Hai vectơ và có cùng phương không? Có cùng hướng không?
2. Giải thích vì sao .

Giải nhanh:

a) Vì là đường trung bình của tam giác => .

Vì là hình bình hành => => .

=> và có cùng phương và cùng hướng.

b) Vì là hình bình hành => .

Vì là đường trung bình của tam giác =>

=>

Luyện tập 7: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi lần lượt là các điểm thuộc các cạnh sao cho . Chứng minh rằng .

Giải nhanh:

Vì =>

Tam giác có: => và

và cùng hướng => (1)

Vì là hình bình hành => và => (2)

Từ (1) và (2) => .

Luyện tập 8: Trong Ví dụ 8, gọi là điểm thuộc đoạn thẳng sao cho (H.2.19). Chứng minh rằng:

.

Giải nhanh:

=>

=>

=> (đpcm)

Vận dụng 3: Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của bốn lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học (H.2.20). Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ 900 km/h lên 920 km/h, trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc 900 km/h và 920 km/h lần lượt được biểu diễn bởi hai vectơ và . Hãy giải thích vì sao với là một số thực dương nào đó. Tính giá trị của (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Giải nhanh:

Vì trong quá trình tăng vận tốc máy bay giữ nguyên hướng bay => và có cùng hướng => với là một số thực dương nào đó (1).

Gọi lần lượt là vận tốc của của chiếc máy bay khi đạt 900 km/h và 920 km/h.

Vì lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay nên

=> (2)

Từ (1) và (2) => =>

4. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Hoạt động 7: Hình thành khái niệm góc giữa hai vectơ trong không gian.

Trong không gian, cho hai vectơ khác . Lấy điểm và vẽ các vectơ . Lấy điểm khác và vẽ các vectơ (H.2.21).

1. Giải thích vì sao .
2. Áp dụng định lí côsin cho hai tam giác và để giải thích vì sao .

Giải nhanh:

a.Ta có: ;

Mà => ; .

=> .

b. Áp dụng định lí côsin vào tam giác ta có:

Áp dụng định lí côsin vào tam giác ta có: .

=> ; => ; =>

=> => .

Luyện tập 9: Cho hình lăng trụ tam giác đều (H.2.25). Tính các góc () và ().

Giải nhanh: 

Vì là lăng trụ tam giác đều 

=> là hình chữ nhật 

=> => .

Vì là hình chữ nhật =>

=> .

Vì tam giác là tam giác đều nên =>

Hoạt động 8: Nhận biết khái niệm tích vô hướng của hai vectơ trong không gian.

Hãy nhắc lại công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng.

Giải nhanh:

Luyện tập 10: Trong Ví dụ 10, hãy tính các tích vô hướng và .

Giải nhanh:

Gọi là giao điểm của hai đường chéo và trong hình vuông . Do đó, là trung điểm của , là trung điểm của .

Tứ giác là hình vuông cạnh , độ dài đường chéo là =>

Gọi là trung điểm của . Mà là trung điểm của nên là đường trung bình của tam giác => và =>

Vì là trung điểm của nên

Tam giác có ba cạnh bằng nhau => là tam giác đều => là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác =>

=> vuông tại =>

là hình vuông =>

Ta có: 

Vì tam giác có ba cạnh bằng nhau => tam giác đều =>

=>

Luyện tập 11: Cho hình lập phương . Chứng minh rằng .

Giải nhanh:

Gọi cạnh của hình lập phương là =>

Gọi là giao điểm của hai đường chéo và của hình vuông .

=> là trung điểm của và => => .

Gọi là trung điểm của . Mà là trung điểm của => là đường trung bình của tam giác => => .

Áp dụng định lí Pythagore vào vuông tại có: 

nên vuông tại . Do đó

Ta có: (đpcm)

Vận dụng 4: Như đã biết, nếu có một lực tác động vào một vật tại điểm và làm cho vật đó di chuyển một quãng đường thì công sinh ra được tính theo công thức , trong đó lực có độ lớn tính bằng Newton, quãng đường tính bằng mét và công tính bằng Jun (H.2.28). Do đó, nếu dùng một lực có độ lớn không đổi để làm một vật di chuyển một quãng đường không đổi thì công sinh ra sẽ lớn nhất khi lực tác động cùng hướng với chuyển động của vật. Hãy giải thích vì sao.

Kết quả trên có thể được áp dụng như thế nào khi kéo (hoặc đẩy) các vật nặng?

Giải nhanh:

Vì lực có độ lớn không đổi và vật di chuyển một quãng đường không đổi => lớn nhất khi lớn nhất => . Khi đó, lực tác động cùng hướng với chuyển động của vật. Vậy công sinh ra sẽ lớn nhất khi lực tác động cùng hướng với chuyển động của vật.

Khi kéo (hoặc đẩy) các vật nặng, ta nên kéo (hoặc đẩy) cùng cùng hướng với chuyển động của vật. 

GIẢI BÀI TẬP

Bài 2.1 trang 58 sách toán 12 tập 1 kntt

Trong không gian, cho ba vectơ , , phân biệt và đều khác . Những mệnh đề nào sau đây là đúng?

1. Nếu và đều cùng hướng với thì và cùng hướng.
2. Nếu và đều ngược hướng với thì và cùng hướng.
3. Nếu và đều cùng hướng với thì và ngược hướng.
4. Nếu và đều ngược hướng với thì và ngược hướng.

Giải nhanh:

a, b.

Bài 2.2 trang 58 sách toán 12 tập 1 kntt

Cho hình hộp chữ nhật có và . Tính độ dài của các vectơ và .

Giải nhanh:

Vì là hình chữ nhật => =>

Vì là hình chữ nhật => tam giác vuông tại .

Do đó, (định lý Pythagore)

=> . 

Vì là hình chữ nhật => vuông tại .

Theo định lí Pythagore ta có:

  =>

Bài 2.3 trang 58 sách toán 12 tập 1 kntt

Một chiếc bàn cân đối hình chữ nhật được đặt trên mặt sàn nằm ngang, mặt bàn song song với mặt bàn và bốn chân bàn vuông góc với mặt sàn như Hình 2.29. Trọng lực tác dụng lên bàn (biểu thị bởi vectơ ) phân tác đều qua bốn chân bàn và gây nên các phản lực từ mặt sàn lên các chân bàn (biểu thị bởi các vectơ , , , ).

1. Hãy chỉ ra mỗi quan hệ về phương và hướng của các vectơ và .
2. Giải thích vì sao các vectơ đôi một bằng nhau.

Giải nhanh:

1. Các vectơ và  có cùng phương; các vectơ cùng hướng với nhau và ngược hướng với vectơ .
2. Vì trọng lực tác dụng lên bàn phân tán đều qua bốn chân bàn và gây nên các phản lực từ mặt sàn lên các chân bàn nên các vectơ có độ lớn bằng nhau. Mà các vectơ cùng hướng với nhau. Do đó, các vectơ đôi một bằng nhau.

Bài 2.4 trang 58 sách toán 12 tập 1 kntt

Cho hình hộp . Chứng minh rằng:

1. ;
2. ;
3. .

Giải nhanh:

a. Vì là hình bình hành => .

Vì là hình bình hành => ,

Ta có: .

b. Ta có:

c. Vì là hình bình hành =>

Vì là hình bình hành =>

Bài 2.5 trang 58 sách toán 12 tập 1 kntt

Cho hình lăng trụ tam giác có và . Hãy biểu diễn các vectơ sau qua các vectơ :

1. ;
2. ;
3. .

Giải nhanh:

a. Vì là hình bình hành => . . 

b. Vì là hình bình hành => .

Ta có:

Vì là hình bình hành nên: 

=>

c. Vì là hình bình hành =>

Bài 2.6 trang 58 sách toán 12 tập 1 kntt

Cho hình chóp tứ giác . Chứng minh rằng tứ giác là hình bình hành nếu và chỉ nếu .

Giải nhanh:

Gọi là tâm hình bình hành => là trung điểm của .

=>

Ta có:

Do đó:  

Ta có:

=> và cùng hướng và có độ lớn bằng nhau.

=> => là hình bình hành.

Bài 2.7 trang 58 sách toán 12 tập 1 kntt

Cho hình chóp . Trên cạnh , lấy điểm sao cho . Trên cạnh , lấy điểm sao cho . Chứng minh rằng .

Giải nhanh:

Ta có:

(đpcm)

Bài 2.8 trang 58 sách toán 12 tập 1 kntt

Trong Luyện tập 8, ta đã biết trọng tâm của tứ diện là một điểm thỏa mãn , ở đó là trọng tâm của tam giác . Áp dụng tính chất trên để tính khoảng cách từ trọng tâm của một khối rubik (đồng chất) hình tứ diện đều đến một mặt của nó, biết rằng chiều cao của khối rubik là 8 cm (H.2.30).

Giải nhanh:

Đặt tên khối rubik là tứ diện đều có là trọng tâm của tam giác , là trọng tâm của tứ diện

=> =>

Vì chiều cao của rubik bằng 8 cm => cm => (cm)

Vậy khoảng cách từ trọng tâm của một khối rubik (đồng chất) hình tứ diện đều đến một mặt của nó bằng cm.

Bài 2.9 trang 59 sách toán 12 tập 1 kntt

Ba sợi dây không giãn với khối lượng không đáng kể được buộc chung một đầu và được kéo căng về ba hướng khác nhau (H.2.31). Nếu các lực kéo làm cho ba sợi dây ở trạng thái đứng yên thì khi đó ba sợi dây nằm trên cùng một mặt phẳng. Hãy giải thích vì sao. 

Giải nhanh:

Ta có cách đặt ba sợi dây theo vectơ dưới đây:

Lấy điểm sao cho tứ giác là hình bình hành (điểm nằm khác phía với điểm ).

Do đó, giá của các vectơ và cùng nằm trên mặt phẳng . (1)

Vì là hình bình hành nên

Vì các lực kéo làm cho ba sợi dây ở trạng thái đứng yên nên , do đó hai vectơ và có giá cùng nằm trên mặt phẳng . (2)

Từ (1) và (2) suy ra ba vectơ và có giá cùng nằm trên mặt phẳng .

Vậy khi các lực kéo làm cho ba sợi dây ở trạng thái đứng yên thì khi đó ba sợi dây nằm trên cùng một mặt phẳng.

Bài 2.10 trang 59 sách toán 12 tập 1 kntt

Cho hình lăng trụ tứ giác đều có độ dài mỗi cạnh đáy bằng 1 và độ dài mỗi cạnh bên bằng 2. Hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau đây và tính tích vô hướng của mỗi cặp vectơ đó:

1. ;
2. ;
3. .

Giải nhanh:

a. Vì => và ngược hướng nhau.

=>

.

b. Vì là hình chữ nhật =>

Vì là hình vuông => . 

=>  

c. Vì là hình chữ nhật => .

Vì là hình vuông => và

Bài 2.11 trang 59 sách toán 12 tập 1 kntt

Trong không gian, cho hai vectơ và cùng độ dài bằng 1. Biết rằng góc giữa hai vectơ đó là 45^o, hãy tính:

1. ;
2. (;
3. .

Giải nhanh:

Bài 2.12 trang 59 sách toán 12 tập 1 kntt

Cho tứ diện . Chứng minh rằng: 

1. ;
2. .

Giải nhanh: