BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG V

A. TRẮC NGHIỆM

Giải rút gọn bài 5.31 trang 61 sách toán 12 tập 2 kntt

Trong không gian , cho mặt phẳng . Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng có toạ độ là

A.             B.                    C.                     D.

Giải rút gọn:

Đáp án D.

Giải rút gọn bài 5.32 trang 61 sách toán 12 tập 2 kntt

Trong không gian , phương trình mặt phẳng đi qua điểm và nhận vectơ làm một vectơ pháp tuyến là

A.

B.

C.

D.

Giải rút gọn:

Mặt phẳng đi qua điểm và nhận vectơ làm một vectơ pháp tuyến nên có phương trình:

Đáp án D.

Giải rút gọn bài 5.33 trang 61 sách toán 12 tập 2 kntt

Trong không gian , cho đường thẳng . Một vecto chỉ phương của đường thẳng có toạ độ là

A.                 B.                 C.                     D.

Giải rút gọn:

Đáp án B.

Giải rút gọn bài 5.34 trang 61 sách toán 12 tập 2 kntt

Trong không gian , cho đường thẳng .Một vectơ chỉ phương của đường thẳng có toạ độ là

A.                  B.                    C.             D.

Giải rút gọn:

Đáp án C.

Giải rút gọn bài 5.35 trang 61 sách toán 12 tập 2 kntt

Trong không gian , phương trình đường thẳng đi qua và nhận vectơ làm một vectơ chỉ phương là

A.                              B.

C.                              D.

Giải rút gọn:

Đáp án C.       

Giải rút gọn bài 5.36 trang 61 sách toán 12 tập 2 kntt

Trong không gian , cho hai điểm . Phương trình đường thẳng là

A.                                      C.

B.                                  D.

Giải rút gọn:

Đường thẳng đi qua điểm và nhận vecto làm một vecto chỉ phương nên có phương trình:

Đáp án D.

Giải rút gọn bài 5.37 trang 61 sách toán 12 tập 2 kntt

Trong không gian , phương trình đường thẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng là

A.                              B.

C.                              D.

Giải rút gọn:

Mặt phẳng có vecto pháp tuyến . Giá của và cùng vuông góc với nên chúng trùng nhau hoặc song song với nhau. Do đó nhận làm một vecto chỉ phương

Đáp án A.       

Giải rút gọn bài 5.38 trang 62 sách toán 12 tập 2 kntt

Trong không gian , cho mặt cầu Toạ độ tâm và bán kính của lần lượt là

A                            B.

C.                         D.

Giải rút gọn:

Đáp án C.  

Giải rút gọn bài 5.39 trang 62 sách toán 12 tập 2 kntt

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

Toạ độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S) lần lượt là

A.                                  B.

C.                                        D.

Giải rút gọn:

Ta viết lại phương trình đã cho dưới dạng:

Đáp án A.           

B. TỰ LUẬN

Giải rút gọn bài 5.40 trang 62 sách toán 12 tập 2 kntt

Trong không gian , cho ba điểm

a) Viết phương trình mặt phẳng .

b) Viết phương trình đường thẳng .

c) Viết phương trình mặt cầu đường kính .

d) Viết phương trình mặt cầu có tâm và đi qua .

Giải rút gọn:

a) Ta có:

Mặt phẳng có cặp vectơ chỉ phương nên có vecto pháp tuyến là

Mà điểm thuộc nên có phương trình:

b) Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương là nên có phương trình tham số là và phương trình chính tắc là

c) là trung điểm của nên

Mặt cầu đường kính có tâm và bán kính nên có phương trình là:

d) Do mặt cầu có tâm và đi qua nên:

Mặt cầu có tâm và có bán kính nên có phương trình:

Giải rút gọn bài 5.41 trang 62 sách toán 12 tập 2 kntt

Trong không gian , cho đường thẳng

Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và gốc toạ độ .

Giải rút gọn:

Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương là

Mặt phẳng chứa đường thẳng và gốc toạ độ nên có cặp vectơ chỉ phương là và nên có vecto pháp tuyến 

Mà mặt phẳng đi qua điểm nên có phương trình là:

Giải rút gọn bài 5.42 trang 62 sách toán 12 tập 2 kntt

Trong không gian , cho mặt phẳng và hai điểm

a) Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng .

b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua và song song với mặt phẳng  

c) Viết phương trình mặt phẳng chứa và vuông góc với mặt phẳng

Giải rút gọn:

a) Khoảng cách từ đến mặt phẳng là:

b) Mặt phẳng có vecto pháp tuyến

Do mặt phẳng song song với mặt phẳng nên có vecto pháp tuyến là

Mà đi qua nên có phương trình là:

d) Do mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng nên nhận vecto làm vecto chỉ phương

Mặt phẳng có cặp vectơ chỉ phương là nên có vecto pháp tuyến là

Mà mặt phẳng đi qua điểm nên có phương trình là:

Giải rút gọn bài 5.43 trang 62 sách toán 12 tập 2 kntt

Trong không gian , cho điểm và hai đường thẳng:

,  

a) Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng và .

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua và song song với đường thẳng .

c) Viết phương trình mặt phẳng chứa và .

d) Tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng .

Giải rút gọn:

Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương là

Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương là

a) Ta có: nên 2 vecto khác phương

Vậy hai đường thẳng và chéo nhau.

b) Đường thẳng song song với đường thẳng nên nhận vecto làm vecto chỉ phương, mà đi qua nên đường thẳng có phương trình tham số là:

c) Ta có: nên không thuộc đường thẳng

Mặt phẳng chứa nên nhận vecto làm vecto chỉ phương. Khi đó có cặp vectơ chỉ phương , nên có vecto pháp tuyến là

Mà mặt phẳng đi qua điểm nên có phương trình là:

d) Gọi M giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng .

Khi đó

Thay vào phương trình đường thẳng ta có:

Suy ra:

Vậy giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng có toạ độ

Giải rút gọn bài 5.44 trang 62 sách toán 12 tập 2 kntt

Trong không gian , cho mặt phẳng và đường thẳng . Viết phương trình mặt phẳng chứa và vuông góc với mặt phẳng

Giải rút gọn:

Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương là

Mặt phẳng có vecto pháp tuyến là . 

Vì mặt phẳng chứa và vuông góc với mặt phẳng nên nhận 2 vecto làm cặp vectơ chỉ phương

Khi đó mặt phẳng có vecto pháp tuyến

Mà mặt phẳng đi qua điểm nên có phương trình là:

Giải rút gọn bài 5.45 trang 63 sách toán 12 tập 2 kntt

Trong không gian , cho hai đường thẳng:

,

Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và song song với đường thẳng . 

Giải rút gọn:

Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương là

Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương là

Vì mặt phẳng chứa đường thẳng và song song với đường thẳng nên nhận 2 vecto làm cặp vectơ chỉ phương

Khi đó mặt phẳng có vecto pháp tuyến

Mà mặt phẳng đi qua điểm nên có phương trình là:

Giải rút gọn bài 5.46 trang 63 sách toán 12 tập 2 kntt

Trong không gian , cho hai mặt phẳng , và điểm . Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm đồng thời vuông góc với cả hai mặt phẳng và.

Giải rút gọn:

Hai mặt phẳng tương ứng có vecto pháp tuyến là

Mặt phẳng vuông góc với hai mặt phẳng nên nhận 2 vecto làm cặp vectơ chỉ phương

Khi đó mặt phẳng có vecto pháp tuyến

Mà mặt phẳng đi qua điểm nên có phương trình là:

Giải rút gọn bài 5.47 trang 63 sách toán 12 tập 2 kntt

Trong không gian , cho hai đường thẳng và  

a) Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng và . 

b) Tính góc giữa và.

Giải rút gọn:

Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương là

Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương là

a) Ta có: nên 2 vecto khác phương

Vậy hai đường thẳng và chéo nhau.

b) Ta có:

Khi đó

Giải rút gọn bài 5.48 trang 63 sách toán 12 tập 2 kntt

Trong không gian , tính góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng

Giải rút gọn:

Đường thẳng có vecto chỉ phương mặt phẳng có vecto pháp tuyến

Ta có:

Khi đó

Giải rút gọn bài 5.49 trang 63 sách toán 12 tập 2 kntt

Trong không gian , tính góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng .

Giải rút gọn:

Các mặt phẳng và tương ứng có vecto pháp tuyến là

Ta có:

Khi đó

Giải rút gọn bài 5.50 trang 63 sách toán 12 tập 2 kntt

Từ mặt nước trong một bề nước, tại ba vị trí đôi một cách nhau 2m, người ta lần lượt thả dây dọi để quả dọi chạm đáy bể. Phần dây dọi (thẳng) nằm trong nước tại ba vị trí đó lần lượt có độ dài 4m; 4,4m; 4,8m. Biết đáy bể là phẳng. Hỏi đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ?

Giải rút gọn:

Kẻ hệ trục toạ độ như hình dưới:

Khi đó:

Mặt phẳng nằm ngang là mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là

Mặt phẳng đáy bể là mặt phẳng có cặp vectơ chỉ phương là nên có vecto pháp tuyến là

Khi đó:

Suy ra

Vậy đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc

Giải rút gọn bài 5.51 trang 63 sách toán 12 tập 2 kntt

Bản vẽ thiết kế của một công trình được vẽ trong một hệ trục toạ độ . Sàn nhà của công trình thuộc mặt phẳng , đường ống thoát nước thẳng và đi qua hai điểm và . Tính góc tạo bởi đường ống thoát nước và mặt sàn. 

Giải rút gọn:

Mặt sàn là mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là

Đường ống thoát nước là đường thẳng đi qua 2 điểm và nên nhận vecto làm vecto chỉ phương

Khi đó:  

Suy ra:

Vậy góc tạo bởi đường ống thoát nước và mặt sàn là

Giải rút gọn bài 5.52 trang 63 sách toán 12 tập 2 kntt

Nếu đứng trước biển và nhìn ra xa, người ta sẽ thấy một đường giao giữa mặt biển và bầu trời, đó là đường chân trời đối với người quan sát (H.5.45a). Về mặt Vật lí, đường chân trời là đường giới hạn phần Trái Đất mà người quan sát có thể nhìn thấy được (phần còn lại bị chính Trái Đất che khuất). Ta có thể hình dung rằng, nếu người quan sát ở tại đỉnh của một chiếc nón và Trái Đất được “thả” vào trong chiếc nón đó, thì đường chân trời trong trường hợp này là đường chạm giữa Trái Đất và chiếc nón (H.5.45b). Trong mô hình toán học, đường chân trời đối với người quan sát tại vị trí B là tập hợp những điểm A nằm trên bề mặt Trái Đất sao cho  với là tâm Trái Đất (H.5.45c). Trong không gian , giả sử bề mặt Trái Đất có phương trình và người quan sát ở vị trí

Gọi là một vị trí bất kì trên đường chân trời đối với người quan sát ở vị trí . Tính khoảng cách .

Giải rút gọn:

Bề mặt Trái Đất là mặt cầu có tâm và bán kính

Vì nằm trên bề mặt Trái Đất nên

Ta có

Xét tam giác vuông tại nên:

(Định lý Pythagoras)

Hay

Suy ra

Vậy khoảng cách là