Siêu nhanh giải bài 14 toán 12 Kết nối tri thức tập 2
Giải siêu nhanh bài 14 toán 12 Kết nối tri thức tập 2. Giải siêu nhanh toán 12 Kết nối tri thức tập 2. Những phần nào có thể rút gọn, lược bỏ và tóm gọn. Đều được áp dụng vào bài giải này. Thêm cách giải mới để học sinh lựa chọn. Để tìm ra phong cách học toán 12 Kết nối tri thức tập 2 phù hợp với mình.
Nếu chưa hiểu - hãy xem: => Lời giải chi tiết ở đây
BÀI 14: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1. VECTO PHÁP TUYẾN VÀ CẶP VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA MẶT PHẲNG
Hoạt động 1: Hình thành khái niệm vectơ pháp tuyến
Trên mặt bàn phẳng, đặt một vật. Khi đó, mặt bàn tác động lên vật một phản lực pháp tuyến , giá của vecto
vuông góc với mặt bàn. Nếu mặt bàn thuộc mặt phẳng nằm ngang thì
có phương gì? (H.5.1)

Giải rút gọn:
Giá của vectơ vuông góc với mặt bàn nên nếu mặt bàn thuộc mặt phẳng nằm ngang thì giá của vectơ có phương thẳng đứng.
Luyện tập 1: Trong không gian , cho các điểm
,
. Gọi
là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
. Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của
.
Giải rút gọn:
Ta có: .
là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
nên
.
Vậy vecto là một vectơ pháp tuyến của
.
Hoạt động 2: Tìm một vectơ vuông góc với hai vectơ cho trước
Trong không gian , cho hai vecto
và
.
a) Vecto có vuông góc với cả hai vecto
và
hay không?
b) khi và chỉ khi
và
có mối quan hệ gì?
Giải rút gọn:
a) Ta có:
nên
.
Lại có:
nên
.
b) nên:
(*)
Vậy khi và chỉ khi
và
song song với nhau.
Luyện tập 2: Trong không gian , cho
và
. Tính
.
Giải rút gọn:
Ta có: .
Hoạt động 3: Hình thành khái niệm cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng
Trong không gian , cho hai vecto
không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng
.
a) Vecto có khác vecto không và giá của nó có vuông góc với cả hai giá của
hay không?
b) Mặt phẳng có nhận
làm một vectơ pháp tuyến hay không?
Giải rút gọn:
a) Hai vecto không cùng phương nên vecto
. Vì vecto
là tích có hướng của hai vectơ
nên giá của nó vuông góc với cả hai giá của
.
b) Hai vecto có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng
mà giá của vectơ
vuông góc với cả hai giá của
nên vecto
. Vậy vecto
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
.
Luyện tập 3: Trong không gian , cho ba điểm không thẳng hàng
,
,
. Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
.
Giải rút gọn:
Ta có:
.
Do đó là cặp vectơ chỉ phương và
là một vectơ pháp tuyến của
.
Vận dụng 1: Moment lực là một đại lượng Vật lý, thể hiện tác động gây ra sự quay quanh một điểm hoặc một trục của một vật thể. Trong không gian , với đơn vị đo là mét, nếu tác động vào cán mỏ lết tại vị trí
một lực
để vặn con ốc ở vị trí
(H.5.6) thì moment lực
được tính bởi công thức

a) Cho . Tính
.
b) Giải thích vì sao, nếu giữ nguyên lực tác động trong khi thay vị trí đặt lực từ
sang
sao cho
thì moment lực sẽ tăng lên gấp đôi. Từ đó, ta có thể rút ra điều gì để đỡ tốn sức khi dùng mỏ lết vặn ốc?
Giải rút gọn:
a) .
b) Ta có: .
Như vậy, khi giữ nguyên lực tác động trong khi thay vị trí đặt lực từ
sang
sao cho
thì moment lực sẽ tăng lên gấp đôi
Từ đó, để đỡ tốn sức khi dùng mỏ lết vặn ốc, ta nên tác động lực tại vị trí cách con ốc (O) càng lớn càng tốt
2. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG
Hoạt động 4: Hình thành khái niệm phương trình tổng quát của mặt phẳng
Trong không gian , cho mặt phẳng
. Gọi
là một vectơ pháp tuyến của
và
là một điểm thuộc
.
a) Một điểm thuộc
khi và chỉ khi hai vecto
và
có mối quan hệ gì?
b) Điểm thuộc
khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn hệ thức nào?
Giải rút gọn:
a) Một điểm thuộc
khi và chỉ khi hai vecto
và
vuông góc với nhau
b) Ta có:
Vì thuộc
nên
Do đó:
Vậy điểm thuộc
khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn hệ thức:
Luyện tập 4: Trong không gian , phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình tổng quát của một mặt phẳng?
a) ;
b) ;
c) .
Giải rút gọn:
Trong các phương trình trên, chỉ có phương trình có dạng
và thỏa mãn
không đồng thời bằng 0
. Vì vậy, trong các phương trình trên chỉ có phương trình
là phương trình mặt phẳng.
Luyện tập 5: Trong không gian , cho mặt phẳng
.
a) Điểm có thuộc
hay không?
b) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của .
Giải rút gọn:
a) Do nên điểm
thuộc
b) Mặt phẳng nhận
làm một vectơ pháp tuyến
3. LẬP PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG
Hoạt động 5: Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết vecto pháp tuyến
Trong không gian , cho mặt phẳng
đi qua điểm
và có vectơ pháp tuyến
.
Dựa vào HĐ4, hãy nêu phương trình của .
Giải rút gọn:
Gọi điểm thuộc
Ta có:
Vì thuộc
nên
Do đó:
Vậy phương trình của là:
Luyện tập 6: Trong không gian , viết phương trình mặt phẳng
đi qua điểm
và vuông góc với trục
.
Giải rút gọn:
Vì mặt phẳng vuông góc với trục
nên mặt phẳng
nhận vectơ
là vectơ pháp tuyến
Lại có mặt phẳng đi qua điểm
nên phương trình tổng quát của mặt phẳng
là:
Hoạt động 6: Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương
Trong không gian , cho mặt phẳng
đi qua điểm
và biết cặp vectơ chỉ phương
,
.
a) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .
b) Viết phương trình mặt phẳng .
Giải rút gọn:
a) Vì mặt phẳng có cặp vectơ chỉ phương
,
nên
là một vectơ pháp tuyến của
Ta có:
Vậy một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là:
b) Mặt phẳng đi qua điểm
và có vectơ pháp tuyến
nên có phương trình là:
Luyện tập 7: Trong không gian , cho các điểm
,
,
. Viết phương trình mặt phẳng
đi qua điểm
đồng thời song song với trục
và đường thẳng
.
Giải rút gọn:
Mặt phẳng nhận
và
làm cặp vectơ chỉ phương nên có vecto pháp tuyến là:
Mặt phẳng đi qua điểm
và nhận
làm một vectơ pháp tuyến nên có phương trình:
Hoạt động 7: Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng
Trong không gian , cho ba điểm không thẳng hàng:
a) Hãy chỉ ra một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng .
b) Viết phương trình mặt phẳng .
Giải rút gọn:
a) Mặt phẳng có một cặp vectơ chỉ phương là:
và
b) Mặt phẳng nhận
và
làm cặp vectơ chỉ phương nên có vecto pháp tuyến là:
Mặt phẳng đi qua điểm
và nhận
làm một vectơ pháp tuyến nên có phương trình:
Vận dụng 2: Trong tình huống mở đầu, hãy thực hiện các bước sau và trả lời câu hỏi đã được nêu ra.
a) Xác định tọa độ của vị trí của vật tương ứng với các thời điểm
,
,
.
b) Chứng mình rằng không thẳng hàng và viết phương trình mặt phẳng
.
c) Vị trí có luôn thuộc mặt phẳng
hay không?
Giải rút gọn:
a) Với thì
Với thì
Với thì
b) Ta có và
Nhận xét: nên
và
không cùng phương
Do đó 3 điểm không thẳng hàng
Mặt phẳng nhận
và
làm cặp vectơ chỉ phương nên có vecto pháp tuyến là:
Mặt phẳng đi qua điểm
và nhận
làm một vectơ pháp tuyến nên có phương trình:
(*)
c) Thay vào (*) ta có:
(luôn đúng)
Vậy điểm luôn thuộc mặt phẳng
4. ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC VỚI NHAU
Hoạt động 8: Tìm điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc
Trong không gian , cho hai mặt phẳng:
, với hai vectơ pháp tuyến
,
tương ứng.
a) Góc giữa hai mặt phẳng và góc giữa hai giá của
có mối quan hệ gì?
b) Hai mặt phẳng và
vuông góc với nhau khi và chỉ khi hai vecto pháp tuyến tương ứng
có mối quan hệ gì?
Giải rút gọn:
a) Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng bất kỳ tương ứng vuông góc với hai mặt phẳng đó
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến
nên giá của
vuông góc với mặt phẳng
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến
nên giá của
vuông góc với mặt phẳng
Do đó, góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai giá của
b) Hai mặt phẳng và
vuông góc với nhau khi và chỉ khi góc của chúng bằng
Mặt khác góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai giá của
Do đó, hai vecto pháp tuyến vuông góc với nhau
Luyện tập 9: Trong không gian , hai mặt phẳng sau đây có vuông góc với nhau hay không?
Giải rút gọn:
Hai mặt phẳng có vecto pháp tuyến tương ứng là:
Ta có:
Do đó 2 mặt phẳng không vuông góc với nhau
Vận dụng 3: (H.5.10) Trong không gian , sàn của một căn phòng có dạng hình tứ giác với bốn đỉnh
. Bốn bức tường của căn phòng đều vuông góc với sàn.
a) Viết phương trình bốn mặt phẳng tương ứng chứa bốn bức tường đó.
b) Trong bốn mặt phẳng tương ứng chứa bốn bức tường đó, hãy chỉ ra những cặp mặt phẳng vuông góc với nhau.
Giải rút gọn:
a) Bốn mặt phẳng tương ứng chứa bốn bức tường vuông góc với sàn là:
Mặt phẳng
Mặt phẳng
Mặt phẳng
chứa 2 điểm A, B
Mặt phẳng
chứa 2 điểm B, C
Mặt phẳng đi qua điểm
và có vectơ pháp tuyến
nên có phương trình:
Mặt phẳng đi qua điểm
và có vectơ pháp tuyến
nên có phương trình:
Mặt phẳng đi qua điểm
và nhận
làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình:
Mặt phẳng nhận
và
làm cặp vectơ chỉ phương nên có vecto pháp tuyến là:
Mặt phẳng đi qua điểm
và nhận
làm một vectơ pháp tuyến nên có phương trình:
b) Những cặp mặt phẳng vuông góc với nhau:
5. ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI MẶT PHẲNG SONG SONG VỚI NHAU
Hoạt động 9: Tìm điều kiện để hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau
Trong không gian , cho hai mặt phẳng
;
,
Với các vecto pháp tuyến tương ứng. Nếu hai mặt phẳng
và
song song hoặc trùng nhau thì các vectơ pháp tuyến
có mối quan hệ gì?
Giải rút gọn:
Nếu hai mặt phẳng và
song song hoặc trùng nhau thì giá của các vectơ pháp tuyến
song song hoặc trùng nhau
Do đó cùng phương với nhau
Luyện tập 10: Trong không gian , cho hai mặt phẳng:
và
.
a) Hỏi và
có song song với nhau hay không?
b) Chứng minh rằng điểm không thuộc mặt phẳng
nhưng thuộc mặt phẳng
.
c) Viết phương trình mặt phẳng đi qua
và song song với
.
Giải rút gọn:
a) Hai mặt phẳng có vecto pháp tuyến tương ứng là:
Do và
nên hai mặt phẳng
không song song với nhau
b) Do và
nên điểm
không thuộc mặt phẳng
nhưng thuộc mặt phẳng
c) Do mặt phẳng song song với
nên mặt phẳng
nhận
làm vectơ pháp tuyến
Mặt phẳng đi qua điểm
và nhận
làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình:
Vận dụng 4: Trong một kì thi tuyển sinh có ba môn thi Toán, Văn, Tiếng Anh. Trong không gian , người ta biểu diễn kết quả thi của mỗi thí sinh bởi điểm có hoành độ, tung độ, cao độ tương ứng là điểm Toán, Văn, Tiếng Anh của thí sinh đó.
a) Chứng minh rằng các điểm biểu diễn tương ứng với các thí sinh có tổng số điểm ba môn thi bằng 27 (nếu có) cùng thuộc một mặt phẳng có phương trình .
b) Chứng minh rằng tồn tại một số mặt phẳng đôi một song song với nhau sao cho hai điểm biểu diễn ứng với hai thí sinh có tổng số điểm thi bằng nhau thì cùng thuộc một mặt phẳng trong số các mặt phẳng đó.

Giải rút gọn:
a) Gọi điểm Toán, Văn, Tiếng Anh của một thí sinh lần lượt là
Khi đó điểm biểu diễn kết quả của thí sinh đó là
Ta có tổng số điểm ba môn thi bằng 27 nên:
Do nên
thuộc một mặt phẳng có phương trình
.
Vậy các điểm biểu diễn tương ứng với các thí sinh có tổng số điểm ba môn thi bằng 27 (nếu có) cùng thuộc một mặt phẳng có phương trình:
.
b) Xét 3 mặt phẳng lần lượt là:
Chứng minh tương tự câu a):
Các điểm biểu diễn tương ứng với các thí sinh có tổng số điểm ba môn thi bằng 20 (nếu có) cùng thuộc một mặt phẳng có phương trình:
.
Các điểm biểu diễn tương ứng với các thí sinh có tổng số điểm ba môn thi bằng 24 (nếu có) cùng thuộc một mặt phẳng có phương trình:
.
Ta có 3 mặt phẳng có vecto pháp tuyến
và
nên 3 mặt phẳng
song song với nhau
Vậy tồn tại một số mặt phẳng đôi một song song với nhau sao cho hai điểm biểu diễn ứng với hai thí sinh có tổng số điểm thi bằng nhau thì cùng thuộc một mặt phẳng trong số các mặt phẳng đó.
6. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG
Hoạt động 10: Thiết lập công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Trong không gian , cho điểm
và mặt phẳng
có vecto pháp tuyến
.
Gọi là hình chiếu vuông góc của
trên
(H.5.13).
a) Giải thích vì sao tồn tại số để
. Tính tọa độ của
theo
, tọa độ của
và các hệ số
.
b) Thay tọa độ của vào phương trình mặt phẳng
để từ đó tính
theo tọa độ của
và các hệ số
.
c) Từ , hãy tính độ dài của đoạn thẳng
theo tọa độ của
và các hệ số
. Từ đó suy ra công thức tính khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
.
Giải rút gọn:
a) Vì N là hình chiếu của M trên nên
Mặt khác có vecto pháp tuyến
Do đó 2 vecto và
cùng phương với nhau ⇒ tồn tại số
để
Giả sử
Ta có:
b) Thay vào phương trình mặt phẳng
ta có:
c) Ta có:
Do đó
Hay
Suy ra công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
là:
Luyện tập 11: Trong không gian , cho hai mặt phẳng
và
.
a) Chứng minh rằng và
song song với nhau.
b) Lấy một điểm thuộc , tính khoảng cách từ điểm đó đến
. Từ đó tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng
và
.
Giải rút gọn:
a) Hai mặt phẳng có vecto pháp tuyến tương ứng là:
Do và
nên hai mặt phẳng
song song với nhau
b) Lấy điểm thuộc mặt phẳng
Khoảng cách từ điểm M đến là:
Vì hai mặt phẳng song song với nhau nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng
và
bằng khoảng cách từ điểm M đến
, do đó:
Vận dụng 5: (H.5.14) Góc quan sát ngang của một camera là . Trong không gian
, camera được đặt tại điểm
và chiếu thẳng về phía mặt phẳng
. Hỏi vùng quan sát được trên mặt phẳng
của camera là hình tròn có bán kính bằng bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Giải rút gọn:
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
là:
Xét vuông tại O, ta có:
hay
Vậy vùng quan sát được trên mặt phẳng của camera là hình tròn có bán kính bằng 8,4
GIẢI BÀI TẬP
Giải rút gọn bài 5.1 trang 39 sách toán 12 tập 2 kntt
Trong không gian , viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm
và vuông góc với trục
.
Giải rút gọn:
Mặt phẳng cần tìm vuông góc với trục Ox nên nhận
làm một vectơ pháp tuyến
Hơn nữa đi qua
nên có phương trình:
Giải rút gọn bài 5.2 trang 39 sách toán 12 tập 2 kntt
Trong không gian , cho hình hộp
, với
.
a) Tính tọa độ các điểm .
b) Viết phương trình mặt phẳng .
Giải rút gọn:
a) Ta có:
Ta có:
và
và
Mặt phẳng nhận
và
làm cặp vectơ chỉ phương nên có vecto pháp tuyến là:
Mặt phẳng đi qua điểm
và nhận
làm một vectơ pháp tuyến nên có phương trình:
Giải rút gọn bài 5.3 trang 39 sách toán 12 tập 2 kntt
Trong không gian , viết phương trình mặt phẳng
đi qua điểm
và vuông góc với hai mặt phẳng:
Giải rút gọn:
Mặt phẳng vuông góc với hai mặt phẳng
nên nhận hai vectơ
làm vecto chỉ phương
Mặt phẳng
có vecto pháp tuyến là:
Mà thuộc mặt phẳng
nên phương trình
là:
Giải rút gọn bài 5.4 trang 39 sách toán 12 tập 2 kntt
Trong không gian , viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm
, song song với trục
và vuông góc với mặt phẳng
.
Giải rút gọn:
Mặt phẳng cần tìm vuông góc với mặt phẳng
nên nhận vecto
làm vecto chỉ phương
Như vậy, mặt phẳng nhận
và
làm cặp vectơ chỉ phương nên có vecto pháp tuyến là:
Mặt phẳng đi qua điểm
và nhận
làm một vectơ pháp tuyến nên có phương trình:
Giải rút gọn bài 5.5 trang 39 sách toán 12 tập 2 kntt
Trong không gian , tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng
.
Giải rút gọn:
Khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng là:
Giải rút gọn bài 5.6 trang 39 sách toán 12 tập 2 kntt
Trong không gian , cho hai mặt phẳng
,
. Chứng minh rằng hai mặt phẳng đã cho song song với nhau và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.
Giải rút gọn:
Hai mặt phẳng có vecto pháp tuyến tương ứng là:
Do và
nên hai mặt phẳng
song song với nhau
Lấy điểm thuộc mặt phẳng
Khoảng cách từ điểm M đến là:
Giải rút gọn bài 5.7 trang 39 sách toán 12 tập 2 kntt
Trong không gian , cho hai mặt phẳng
,
.
a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng và
vuông góc với nhau.
b) Tìm điểm thuộc trục
và cách đều hai mặt phẳng
và
.
Giải rút gọn:
a) Hai mặt phẳng có vecto pháp tuyến tương ứng là:
Ta có:
Do đó 2 mặt phẳng vuông góc với nhau
b) Điểm thuộc trục
nên toạ độ của
có dạng:
Do cách đều hai mặt phẳng
và
nên:
Vậy hoặc
Giải rút gọn bài 5.8 trang 39 sách toán 12 tập 2 kntt
Bác An dự định làm bốn mái của một ngôi nhà sao cho chúng là bốn mặt bên của một hình chóp đều và các mái nhà kề nhau thì vuông góc với nhau. Hỏi ý tưởng trên có thực hiện được không?
Giải rút gọn:
Đặt hệ trục toạ độ như hình bên:
Hình chóp đều có đáy là hình vuông
với độ dài cạnh a và cạnh bên với độ dài b
Ta cần xác định xem 2 mặt phẳng có vuông góc với nhau không
Do là hình vuông nên
Xét vuông tại O nên:
Khi đó:
Mặt phẳng nhận
và
làm cặp vectơ chỉ phương nên có vecto pháp tuyến là:
Mặt phẳng nhận
và
làm cặp vectơ chỉ phương nên có vecto pháp tuyến là:
Ta có:
.
.
=
Do đó 2 mặt phẳng không vuông góc với nhau
Vậy không thể thực hiện được ý tưởng trên
Giải rút gọn bài 5.9 trang 39 sách toán 12 tập 2 kntt
Trong không gian , một ngôi nhà có sàn nhà thuộc mặt phẳng
, trần nhà tầng 1 thuộc mặt phẳng
, mái nhà tầng 2 thuộc mặt phẳng
. Hỏi trong ba mặt phẳng tương ứng chứa sàn nhà, trần nhà tầng 1, mái tầng 2, hai mặt phẳng nào song song với nhau?
Giải rút gọn:
Mặt phẳng chứa sàn nhà: , có vecto pháp tuyến
Mặt phẳng chứa trần nhà tầng 1: , có vecto pháp tuyến
Mặt phẳng chứa mái tầng 2: , có vecto pháp tuyến
Ta có: và
nên hai mặt phẳng
song song với nhau
Vậy mặt phẳng chứa sàn nhà và mặt phẳng chứa trần nhà tầng 1 song song với nhau
Giải rút gọn bài 5.10 trang 40 sách toán 12 tập 2 kntt
Xét một cối xay lúa trong không gian , với đơn vị đo là mét. Nếu tác động vào tai cối xay lúa (ở vị trí
) một lực
thì moment lực
được tính bởi công thức
(H.5.16). Trong quá trình xay, các thanh gỗ
và
luôn có phương nằm ngang. Vectơ lực
có giá song song với
. Giải thích vì sao giá của vectơ moment lực
có phương thẳng đứng?
Giải rút gọn:
Các thanh gỗ và
luôn có phương nằm ngang và vectơ lực
có giá song song với
nên hai vecto
và
có giá nằm ngang
Mà moment lực được tính bởi công thức
nên vecto
vuông góc với hai vectơ
và
Do đó vectơ moment lực có phương thẳng đứng
Nếu chưa hiểu - hãy xem: => Lời giải chi tiết ở đây
Nội dung quan tâm khác
Thêm kiến thức môn học
Giải toán 12 Kết nối tri thức tập 2 bài 14, Giải bài 14 toán 12 Kết nối tri thức tập 2, Siêu nhanh giải bài 14 toán 12 Kết nối tri thức tập 2
Giải bài tập những môn khác
Môn học lớp 12 KNTT
5 phút giải toán 12 KNTT
5 phút soạn bài văn 12 KNTT
Văn mẫu 12 KNTT
5 phút giải vật lí 12 KNTT
5 phút giải hoá học 12 KNTT
5 phút giải sinh học 12 KNTT
5 phút giải KTPL 12 KNTT
5 phút giải lịch sử 12 KNTT
5 phút giải địa lí 12 KNTT
5 phút giải CN lâm nghiệp 12 KNTT
5 phút giải CN điện - điện tử 12 KNTT
5 phút giải THUD12 KNTT
5 phút giải KHMT12 KNTT
5 phút giải HĐTN 12 KNTT
5 phút giải ANQP 12 KNTT
Môn học lớp 12 CTST
5 phút giải toán 12 CTST
5 phút soạn bài văn 12 CTST
Văn mẫu 12 CTST
5 phút giải vật lí 12 CTST
5 phút giải hoá học 12 CTST
5 phút giải sinh học 12 CTST
5 phút giải KTPL 12 CTST
5 phút giải lịch sử 12 CTST
5 phút giải địa lí 12 CTST
5 phút giải THUD 12 CTST
5 phút giải KHMT 12 CTST
5 phút giải HĐTN 12 bản 1 CTST
5 phút giải HĐTN 12 bản 2 CTST
Môn học lớp 12 cánh diều
5 phút giải toán 12 CD
5 phút soạn bài văn 12 CD
Văn mẫu 12 CD
5 phút giải vật lí 12 CD
5 phút giải hoá học 12 CD
5 phút giải sinh học 12 CD
5 phút giải KTPL 12 CD
5 phút giải lịch sử 12 CD
5 phút giải địa lí 12 CD
5 phút giải CN lâm nghiệp 12 CD
5 phút giải CN điện - điện tử 12 CD
5 phút giải THUD 12 CD
5 phút giải KHMT 12 CD
5 phút giải HĐTN 12 CD
5 phút giải ANQP 12 CD
Giải chuyên đề học tập lớp 12 kết nối tri thức
Giải chuyên đề Ngữ văn 12 Kết nối tri thức
Giải chuyên đề Toán 12 Kết nối tri thức
Giải chuyên đề Vật lí 12 Kết nối tri thức
Giải chuyên đề Hóa học 12 Kết nối tri thức
Giải chuyên đề Sinh học 12 Kết nối tri thức
Giải chuyên đề Kinh tế pháp luật 12 Kết nối tri thức
Giải chuyên đề Lịch sử 12 Kết nối tri thức
Giải chuyên đề Địa lí 12 Kết nối tri thức
Giải chuyên đề Tin học ứng dụng 12 Kết nối tri thức
Giải chuyên đề Khoa học máy tính 12 Kết nối tri thức
Giải chuyên đề Công nghệ 12 Điện - điện tử Kết nối tri thức
Giải chuyên đề Công nghệ 12 Lâm nghiệp thủy sản Kết nối tri thức
Giải chuyên đề học tập lớp 12 chân trời sáng tạo
Giải chuyên đề Ngữ văn 12 Chân trời sáng tạo
Giải chuyên đề Toán 12 Chân trời sáng tạo
Giải chuyên đề Vật lí 12 Chân trời sáng tạo
Giải chuyên đề Hóa học 12 Chân trời sáng tạo
Giải chuyên đề Sinh học 12 Chân trời sáng tạo
Giải chuyên đề Kinh tế pháp luật 12 Chân trời sáng tạo
Giải chuyên đề Lịch sử 12 Chân trời sáng tạo
Giải chuyên đề Địa lí 12 Chân trời sáng tạo
Giải chuyên đề Tin học ứng dụng 12 Chân trời sáng tạo
Giải chuyên đề Khoa học máy tính 12 Chân trời sáng tạo
Giải chuyên đề Công nghệ 12 Điện - điện tử Chân trời sáng tạo
Giải chuyên đề Công nghệ 12 Lâm nghiệp thủy sản Chân trời sáng tạo
Giải chuyên đề học tập lớp 12 cánh diều
Giải chuyên đề Ngữ văn 12 Cánh diều
Giải chuyên đề Toán 12 Cánh diều
Giải chuyên đề Vật lí 12 Cánh diều
Giải chuyên đề Hóa học 12 Cánh diều
Giải chuyên đề Sinh học 12 Cánh diều
Giải chuyên đề Kinh tế pháp luật 12 Cánh diều
Giải chuyên đề Lịch sử 12 Cánh diều
Giải chuyên đề Địa lí 12 Cánh diều
Giải chuyên đề Tin học ứng dụng 12 Cánh diều
Giải chuyên đề Khoa học máy tính 12 Cánh diều
Giải chuyên đề Công nghệ 12 Điện - điện tử Cánh diều
Giải chuyên đề Công nghệ 12 Lâm nghiệp thủy sản Cánh diều
Bình luận