1. SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Hoạt động 1: Làm quen với việc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

Cho hàm số . Thực hiện lần lượt các yêu cầu sau:

1. Tính và tìm các điểm tại đó .
2. Xét dấu để tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến và cực trị của hàm số.
3. Tính , và lập bảng biến thiên của hàm số.
4. Vẽ đồ thị của hàm số và nhận xét về tính đối xứng của đồ thị.

Giải nhanh:

a. .

; (thỏa mãn)

Vậy tại .

b. Trên khoảng , nên hàm số nghịch biến. Trên khoảng , nên hàm số đồng biến.

Hàm số đạt cực tiểu tại , giá trị cực tiểu . Hàm số không có cực đại.

c.

d. 

Đồ thị giao với trục tung tại điểm có tọa độ là .

Ta có: . Do đó, giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm và .

Xét điểm thuộc đồ thị hàm số, do đó đồ thị hàm số nhận đường thẳng làm trục đối xứng.

2. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐA THỨC BẬC BA

Luyện tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số .

Giải nhanh:

.

Sự biến thiên:

Ta có: với .

=> Hàm số nghịch biến trên khoảng

Hàm số không có cực trị.

Tiệm cận: ;

Đồ thị:

Ta có: (thỏa mãn)

Vậy giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung và trục hoành là điểm

Tâm đối xứng là .

3. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ PHÂN THỨC HỮU TỈ

Luyện tập 2: Giải bài toán ở tình huống mở đầu, coi là hàm số xác định với .

Giải nhanh:

=> là hàm số giảm.

Vậy nên chi phí trung bình giảm theo nhưng luôn lớn hơn 2 triệu đồng/sản phẩm.

Điều này thể hiện trên Hình 1.27 là đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là đường thẳng và đi xuống trong khoảng .

Vận dụng: Một bể chứa ban đầu có 200 lít nước. Sau đó, cứ mỗi phút người ta bơm thêm 40 lít nước, đồng thời cho vào bể 20 gam chất khử trùng (hòa tan).

1. Tính thể tích nước và khối lượng chất khử trùng có trong bể sau phút. Từ đó tính nồng độ chất khử trùng (gam/lít) trong bể sau phút.
2. Coi nồng độ chất khử trùng là hàm số với . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số này.
3. Hãy giải thích tại sao nồng độ chất khử trùng tăng theo nhưng không vượt ngưỡng 0,5 gam/lít.

Giải nhanh:

a. Thể tích nước trong bể sau phút là: (lít)

Khối lượng chất khử trùng có trong bể sau phút là: (gam)

Nồng độ chất khử trùng trong bể sau phút là: (gam/lít)

b.  .

Tiệm cận: . 

=> là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Đồ thị: 

Hàm số đi qua ba điểm ; ; .

c. Vì , và nên nồng độ chất khử trùng tăng theo nhưng không vượt ngưỡng 0,5 gam/lít.

Luyện tập 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ..

Giải nhanh:

.

Sự biến thiên:

.

Hàm số không có cực trị.

Tiệm cận: 

;

Vậy hàm số không có tiệm cận ngang.

;

Vậy hàm số có một tiệm cận đứng là đường thẳng .

;

Vậy hàm số có một tiệm cận xiên là đường thẳng .

Đồ thị:

• Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là
• Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là và
• Đồ thị hàm số nhận giao điểm có tọa độ của đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

GIẢI BÀI TẬP

Bài 1.21 trang 32 sách toán 12 tập 1 kntt

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

1. ;
2. .

Giải nhanh:

a. .

Sự biến thiên: 

; (thỏa mãn)

Giới hạn tại vô cực:

;

Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là .

Các điểm , thuộc đồ thị hàm số.

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm .

b. 

.

Sự biến thiên:

Ta có: ;

Giới hạn tại vô cực: 

;

Đồ thị: 

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là .

Các điểm ; thuộc đồ thị hàm số .

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm .

Bài 1.22 trang 32 sách toán 12 tập 1 kntt

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

1. ;
2. .

Giải nhanh:

 a. 

.

Sự biến thiên:   .

; .

; .

=>  Đồ thị hàm số nhận đường thẳng làm tiệm cận đứng và đường thẳng

làm tiệm cận ngang.

Đồ thị: Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là .

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là .

Đồ thị hàm số nhận giao điểm của đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

 b. 

.

Sự biến thiên:

với

;

Do đó đồ thị hàm số nhận đường thẳng làm tiệm cận đứng và đường thẳng làm tiệm cận ngang.

Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là .

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là

Đồ thị hàm số nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

Bài 1.23 trang 32 sách toán 12 tập 1 kntt

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

1. ;
2. .

Giải nhanh:

 a. 

.

Sự biến thiên:

Ta có ;

;

Vậy đồ thị không có tiệm cận ngang.

;

Vậy đồ thị có một tiệm cận đứng là đường thẳng .

Vậy đồ thị có một tiệm cận xiên là đường thẳng .

Đồ thị: 

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm .

Đồ thị hàm số không cắt trục hoành.

Đồ thị hàm số nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

 b. 

.

Sự biến thiên:

Ta có: ;

;

Vậy hàm số không có tiệm cận ngang.

;

Vậy hàm số có một tiệm cận đứng là .

;

Vậy hàm số có một tiệm cận xiên là .

Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị với trục tung là .

Giao điểm của đồ thị với trục tung là .

Đồ thị hàm số nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

Bài 1.24 trang 32 sách toán 12 tập 1 kntt

Một cốc chứa ml dung dịch KOH (potassium hydroxide) với nồng độ 100 mg/ml. Một bình chứa dung dịch KOH khác với nồng độ 8 mg/ml được trộn vào cốc. 

1. Tính nồng độ KOH trong cốc sau khi trộn x (ml) từ bình chứa, ký hiệu là .
2. Coi là hàm số xác định với . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số này.
3. Giải thích tại sao nồng độ KOH trong cốc giảm theo nhưng luôn lớn hơn 8 mg/ml.

Giải nhanh:

a. Tổng khối lượng KOH sau khi trộn là: (mg)

Tổng thể tích dung dịch sau khi trộn là: (ml)

Nồng độ KOH trong cốc sau khi trộn là: (mg/ml)

b.   

 .

Sự biến thiên:

Ta có: với .

Tiệm cận:

Vậy hàm số có một tiệm cận ngang là đường thẳng

Đồ thị:

Hàm số giao với trục tại điểm .

Hàm số đi qua các điểm và .

c. Vì và  nên nồng độ KOH trong cốc giảm theo nhưng luôn lớn hơn mg/ml.

Bài 1.25 trang 32 sách toán 12 tập 1 kntt

Trong Vật lí, ta biết rằng khi mắc song song hai điện trở và thì điện trở tương đương của mạch điện được tính theo công thức (theo Vật lí đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016).

Giả sử một điện trở 8 Ω được mắc song song với một biến trở như Hình 1.33. Nếu điện trở đó được kí hiệu là (Ω) thì điện trở tương đương là hàm số của . Vẽ đồ thị của hàm số và dựa vào đồ thị đã vẽ, hãy cho biết:

1. Điện trở tương đương của mạch thay đổi thế nào khi tăng.
2. Tại sao điện trở tương đương của mạch không bao giờ vượt quá 8 Ω.

Giải nhanh:

Ta có: ,

 .

Sự biến thiên:

với .

Tiệm cận:

=> đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là .

Đồ thị:

Đồ thị hàm số giao với và tại gốc tọa độ .

Đồ thị hàm số đi qua các điểm và .

1. => tăng thì điện trở tương đương của mạch cũng tăng.
2. và => điện trở tương đương của mạch không bao giờ vượt quá W.