BÀI TẬP ÔN TẬP CUỐI NĂM

A. TRẮC NGHIỆM

Giải rút gọn bài 1 trang 90 sách toán 12 tập 2 kntt

Khoảng nghịch biến của hàm số là

A.

B.

C.

D.

Giải rút gọn:

Đáp án C.

Tập xác định của hàm số là R

Ta có: hoặc

Giải rút gọn bài 2 trang 90 sách toán 12 tập 2 kntt

Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn là gì

A.

B.

C.

D.

Giải rút gọn:

Đáp án B.

Tập xác định của hàm số là

Ta có: hoặc

Do đó, trên đoạn  :

Giải rút gọn bài 3 trang 90 sách toán 12 tập 2 kntt

Tổng số các đường tiệm cận của đồ thị hàm số là

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Giải rút gọn:

Đáp án C. 2

Tập xác định của hàm số là

Hàm số không có tiệm cận đứng

Ta có:

Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang và không có tiệm cận đứng

Giải rút gọn bài 4 trang 90 sách toán 12 tập 2 kntt

Đường cong trong hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?

A.

B.

C.

D.

Giải rút gọn:

Đáp án B.

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm, chứng tỏ phương trình có 3 nghiệm phân biệt

Giải rút gọn bài 5 trang 90 sách toán 12 tập 2 kntt

Cho hàm số . Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A.                            B.

C.                    D.

Giải rút gọn:

Đáp án D.

Ta có:

Giải rút gọn bài 6 trang 90 sách toán 12 tập 2 kntt

Cho hàm số thoả mãn và . Khi đó bằng

A.                     B.

C.                                  D.

Giải rút gọn:

Đáp án A.

Ta có:

Lại có

Vậy

Khi đó:

Giải rút gọn bài 7 trang 90 sách toán 12 tập 2 kntt

Cho hàm số liên tục trên R. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường như hình bên.

Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A.                    B.

C.                D.

Giải rút gọn:

Đáp án B.

Ta có:

Giải rút gọn bài 8 trang 91 sách toán 12 tập 2 kntt

Gọi là hình phẳng giới hạn bởi các đường . Thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng quanh trục là

A.              B.           C.               D.

Giải rút gọn:

Đáp án B.

Thể tích cần tính là:

Giải rút gọn bài 9 trang 91 sách toán 12 tập 2 kntt

Cho tứ diện , gọi là trọng tâm của tam giác và là trung điểm của đoạn thẳng . Khi đó bằng

A.

B.

C.

D.

Giải rút gọn:

Đáp án B.

là trọng tâm của tam giác nên:

là trung điểm của đoạn thẳng nên:

Do đó:  

Giải rút gọn bài 10 trang 91 sách toán 12 tập 2 kntt

Cho hình hộp có tâm và gọi là trọng tâm của tam giác . Tỉ số bằng

A.

B.

C.

D.

Giải rút gọn:

Đáp án C.

là tâm của hình hộp nên là trung điểm của và

là trọng tâm tam giác nên

Xét tam giác có: , là đường trung tuyến (do đồng thời là trung điểm của

Do đó cũng là trọng tâm tam giác

Giải rút gọn bài 11 trang 91 sách toán 12 tập 2 kntt

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng và mặt phẳng . Côsin của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là

A.           B.                       C.           D.

Giải rút gọn:

Đáp án B.

Đường thẳng có vecto chỉ phương và mặt phẳng có vecto pháp tuyến . Khi đó:

Ta có:

Giải rút gọn bài 12 trang 91 sách toán 12 tập 2 kntt

Trong không gian , cho điểm . Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên trục . Phương trình mặt phẳng là

A.                    B.

C.                    D.

Giải rút gọn:

Không có đáp án đúng

Do lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên trục nên , ,

Mặt phẳng có cặp vectơ chỉ phương là , nên có vecto pháp tuyến là

Mà thuộc mặt phẳng nên có phương trình là:

Giải rút gọn bài 13 trang 91 sách toán 12 tập 2 kntt

Thống kê thời gian trong tuần dành cho đọc sách của một số nhân viên trong một công ty được cho trong bảng sau:

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm này là

A. 13                      B. 10                      C. 8                        D. 6

b) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm này là (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

A. 1,99                   B. 2,02                   C. 3,97                   D. 4,09

Giải rút gọn:

Đáp án a) B. 10; b) A. 1,99

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm này là:

b) Chọn giá trị đại diện cho nhóm số liệu:

Tổng số nhân viên là:

Thời gian làm việc trung bình là:  

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm này là:

Giải rút gọn bài 14 trang 92 sách toán 12 tập 2 kntt

Trong một nhóm 25 người, có 15 người thích uống trà, 17 người thích uống cà phê, 9 người thích uống cả cà phê và trà. Chọn ngẫu nhiên một người trong nhóm. Biết rằng người đó thích uống cà phê. Xác suất để người đó thích uống trà là

A.                       B.                       C.                       D.

Giải rút gọn:

Đáp án A.          

Gọi A là biến cố: "Người đó thích uống cà phê”

B là biến cố: "Người đó thích uống trà”

là xác suất để người đó thích uống trà với điều kiện người đó thích uống cà phê

Có 17 người thích uống cà phê nên

Có 9 người thích uống cả cà phê và trà nên

Ta có:

Giải rút gọn bài 15 trang 92 sách toán 12 tập 2 kntt

Trong số 40 học sinh lớp 12A, có 22 em đăng ký thi ngành Kinh tế, 25 em đăng ký thi ngành Luật, 3 em không đăng ký thi cả hai ngành này. Chọn ngẫu nhiên một học sinh, biết rằng em đó đăng ký thi ngành luật. Xác suất để em đó đăng ký thi ngành kinh tế là

A.                        B.                        C.                        D.

Giải rút gọn:

Đáp án B.  

Gọi A là biến cố:”Học sinh đó đăng ký ngành Luật”
B là biến cố:” Học sinh đó đăng ký ngành Kinh tế”
là xác suất để học sinh đó đăng ký ngành Kinh tế với điều kiện em đó đăng ký ngành Luật

Số học sinh đăng ký cả 2 ngành Luật và Kinh tế là:

Có 25 em đăng ký thi ngành Luật nên

Ta có:

B. TỰ LUẬN

Giải rút gọn bài 16 trang 92 sách toán 12 tập 2 kntt

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a)

b)

c)

Giải rút gọn:

a) 1. Tập xác định của hàm số: R

2. Sự biến thiên:

Ta có: hoặc

Trên khoảng , nên hàm số nghịch biến. Trên các khoảng và , nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó

Hàm số đạt cực tiểu tại , giá trị cực tiểu .

Hàm số đạt cực đại tại , giá trị cực đại

Giới hạn tại vô cực:

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm

Ta có: hoặc

Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm và

Ta có:

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm

Không có tiệm cận

b)  

1. Tập xác định của hàm số:

2. Sự biến thiên:

Ta có: với mọi

Hàm số đồng biến trên từng khoảng và

Hàm số không có cực trị

Tiệm cận:

;

;

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng , tiệm cận ngang là đường thẳng  

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm

Ta có:  

Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm  

Đồ thị hàm số nhận giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận ngang làm tâm đối xứng, do đó tâm đối xứng là điểm ; và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng

c)

1. Tập xác định của hàm số:

2. Sự biến thiên:

Viết

Ta có: hoặc  

Trên các khoảng và , nên hàm số đồng biến trên từng khoảng này

Trên các khoảng và , nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng này

Hàm số cực đại tại , giá trị cực đại

Hàm số cực tiểu tại , giá trị cực tiểu

Giới hạn:

;

Tiệm cận:

; 

;

;

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng , tiệm cận xiên là đường thẳng  

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm

Ta có: hoặc

Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm ,  

Đồ thị hàm số nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng, do đó tâm đối xứng là điểm ; và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng

Giải rút gọn bài 17 trang 92 sách toán 12 tập 2 kntt

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) trên đoạn

b)

Giải rút gọn:

a) Tập xác định của hàm số là R

Ta có:

Do đó, trên đoạn : ;

b) Tập xác định của hàm số là

Ta có:  

(thoả mãn) hoặc (thoả mãn)

Do đó, trên đoạn :

Giải rút gọn bài 18 trang 92 sách toán 12 tập 2 kntt

Khi đạp phanh thì một ô tô chuyển động chậm dần đều với gia tốc .

a) Nếu khi bắt đầu đạp phanh ô tô đang chạy với vận tốc thì sau bao lâu kể từ khi đạp phanh, ô tô sẽ dừng lại?

b) Nếu ô tô dừng lại trong vòng 20 m sau khi đạp phanh thì vận tốc lớn nhất của ô tô ngay trước lúc đạp phanh (tính bằng km/h) có thể là bao nhiêu?

Giải rút gọn:

Khi đạp phanh thì một ô tô chuyển động chậm dần đều với gia tốc nên  

Gọi là vận tốc chuyển động của ô tô 

Ta có: . Do đó là một nguyên hàm của hàm số

Khi đó:

a) Đổi

Do khi bắt đầu đạp phanh ô tô đang chạy với vận tốc nên  

Để ô tô dừng lại thì , khi đó:

Vậy sau kể từ khi đạp phanh, ô tô sẽ dừng lại

b) Ta có:

Do ô tô dừng lại trong vòng 20m sau khi đạp phanh nên

Khi đó:

Vậy vận tốc lớn nhất của ô tô ngay trước lúc đạp phanh là  

Giải rút gọn bài 19 trang 92 sách toán 12 tập 2 kntt

Tìm hàm số biết rằng và .

Giải rút gọn:

Ta có:

Lại có

Vậy

Giải rút gọn bài 20 trang 92 sách toán 12 tập 2 kntt

Tính các tích phân sau:

a)

b)

c)

d)

Giải rút gọn:

a)

b)

c)

d)

Giải rút gọn bài 21 trang 92 sách toán 12 tập 2 kntt

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ,

Giải rút gọn:

Diện tích hình phẳng cần tính là:

Giải rút gọn bài 22 trang 92 sách toán 12 tập 2 kntt

Gọi là hình phẳng giới hạn bởi các đường . Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng quanh trục .

Giải rút gọn:

Thể tích của khối tròn xoay là:

Giải rút gọn bài 23 trang 92 sách toán 12 tập 2 kntt

Cho tứ diện , chứng minh rằng:

a)

b) Nếu và thì

Giải rút gọn:

a) Ta có:

(đpcm)

b) Ta có:

Mặt khác lại có

Suy ra: (đpcm)

Giải rút gọn bài 24 trang 93 sách toán 12 tập 2 kntt

Cho hình lập phương có cạnh bằng a. Gọi là trọng tâm của tam giác .

a) Chứng minh rằng

b) Tính theo a độ dài đoạn thẳng

Giải rút gọn:

a) Gọi là giao điểm 2 đường chéo

là trung điểm của

Mà là trọng tâm của tam giác nên

Suy ra

Do là hình lập phương, theo quy tắc hình hộp nên

Vậy (đpcm)

b) Ta có:

Mặt khác:

Giải rút gọn bài 25 trang 93 sách toán 12 tập 2 kntt

Trong không gian , cho điểm và mặt phẳng . Viết phương trình đường thẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng .

GIải rút gọn:

Mặt phẳng có vecto pháp tuyến là

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nên nhận vecto làm vectơ chỉ phương

Mà đường thẳng đi qua nên có phương trình tham số là:

Giải rút gọn bài 26 trang 93 sách toán 12 tập 2 kntt

Trong không gian , cho điểm và đường thẳng

a) Viết phương trình đường thẳng đi qua và song song với đường thẳng .

b) Viết phương trình mặt phẳng chứa điểm A và đường thẳng .

Giải rút gọn:

Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương

a)  Đường thẳng song song với đường thẳng nên nhận vecto làm vecto chỉ phương

Mà đi qua nên có phương trình tham số là:

b) Mặt phẳng chứa điểm A và đường thẳng nên nhận và làm cặp vectơ chỉ phương. Do đó, có vecto pháp tuyến là:

Mà chứa điểm nên có phương trình là:

Giải rút gọn bài 27 trang 93 sách toán 12 tập 2 kntt

Trong không gian , cho hai điểm .

a) Viết phương trình mặt phẳng .

b) Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng .

c) Tìm điểm thuộc mặt phẳng sao cho nhỏ nhất.

Giải rút gọn:

a) Ta có:

Mặt phẳng nhận 2 vecto làm cặp vectơ chỉ phương. Do đó, có vecto pháp tuyến là:

Mà chứa điểm nên có phương trình là:

b)Vì là trung điểm của đoạn thẳng nên: 

Vậy

c) Vì là trung điểm của đoạn thẳng nên:  

Suy ra: 

Như vậy, để nhỏ nhất thì giá trị phải nhỏ nhất

Mặt khác, điểm thuộc mặt phẳng  

Do đó nhỏ nhất khi và chỉ khi hay là hình chiếu của trên mặt phẳng

Giải rút gọn bài 28 trang 93 sách toán 12 tập 2 kntt

Trong không gian , có một nguồn sáng phát ra từ điểm và một đoạn dây thẳng nối từ điểm đến điểm . Dưới nguồn sáng, đoạn dây trên có bóng trên mặt phẳng là một đoạn thẳng. Tính độ dài đoạn thẳng đó.

Giải rút gọn:

Gọi và tương ứng là giao điểm của đường thẳng và trên mặt phẳng

Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số là:

Do thuộc nên

Mà

Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số là:

Do thuộc nên

Mà

Khi đó:

Vậy bóng của đoạn dây trên mặt phẳng có độ dài là:

Giải rút gọn bài 29 trang 93 sách toán 12 tập 2 kntt

Thu nhập của người lao động trong một công ty được cho trong bảng sau:

Tính khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu này.

Giải rút gọn:

Cỡ mẫu là

Gọi là mức thu nhập của 203 người lao động trong công ty và giả sử dãy số liệu gốc này được sắp xếp theo thứ tự tăng dần

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là nên nhóm tứ phân vị thứ nhất là nhóm và ta có:

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là nên nhóm tứ phân vị thứ ba là nhóm và ta có:

Vậy khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu này là:

Giải rút gọn bài 30 trang 93 sách toán 12 tập 2 kntt

Có hai chuồng nuôi gà. Chuồng I có 8 con gà trống và 13 con gà mái. Chuồng II có 10 con gà trống và 6 con gà mái. An bắt ngẫu nhiên một con gà từ chuồng II đem thả vào chuồng I. Sau đó, Bình bắt ngẫu nhiên một con gà từ chuồng I.

Giả sử Bình bắt được con gà mái. Tính xác suất để Bình bắt được con gà mái của chuồng I.

Giải rút gọn:

Gọi A là biến cố: "An bắt được con gà mái ở chuồng II”

B là biến cố: "Bình bắt được con gà mái của chuồng I”

Ta cần tính

Chuồng II có 10 con gà trống và 6 con gà mái nên:

là xác suất để Bình bắt được con gà mái của chuồng I với điều kiện con gà mà An bắt được ở chuồng 2 là gà mái, khi đó trong chuồng I có 8 con gà trống và 14 con gà mái

là xác suất để Bình bắt được con gà mái của chuồng I với điều kiện con gà mà An bắt được ở chuồng 2 là gà trống, khi đó trong chuồng I có 9 con gà trống và 13 con gà mái

Theo công thức tính xác suất toàn phần:

Vậy xác suất để Bình bắt được con gà mái của chuồng I là

Giải rút gọn bài 31 trang 93 sách toán 12 tập 2 kntt

Trong một tuần, Sơn chọn ngẫu nhiên ba ngày chạy bộ buổi sáng. Nếu chạy bộ thì xác suất Sơn ăn thêm một quả trứng vào bữa sáng hôm đó là 0,7. Nếu không chạy bộ thì xác suất Sơn ăn thêm một quả trứng vào bữa sáng hôm đó là 0,25. Chọn ngẫu nhiên một ngày trong tuần của Sơn. Tính xác suất để hôm đó Sơn chạy bộ nếu biết rằng bữa sáng hôm đó Sơn có ăn thêm một quả trứng.

Giải rút gọn:

Gọi A là biến cố: "Hôm đó Sơn chạy bộ”

B là biến cố: "Bữa sáng hôm đó Sơn có ăn thêm một quả trứng”

Ta cần tính

Trong một tuần, Sơn chọn ngẫu nhiên ba ngày chạy bộ buổi sáng nên

Nếu chạy bộ thì xác suất Sơn ăn thêm một quả trứng vào bữa sáng hôm đó là 0,7 nên

Nếu không chạy bộ thì xác suất Sơn ăn thêm một quả trứng vào bữa sáng hôm đó là 0,25 nên

Theo công thức Bayes ta có:

Vậy xác suất để hôm đó Sơn chạy bộ nếu biết rằng bữa sáng hôm đó Sơn có ăn thêm một quả trứng là