Slide bài giảng Toán 11 kết nối Bài 5: Dãy số

Tóm lược nội dung

BÀI 5. DÃY SỐ

1. ĐỊNH NGHĨA DÃY SỐ

Bài 1: Nhận biết dãy số vô hạn

Viết năm số chính phương đầu theo thứ tự tăng dần. Từ đó, dự đoán công thức tính số chính phương thứ n.

Từ công thức nhận được, ta có quy tắc để viết được dãy gồm tất cả các số chính phương

Đáp án:

Năm số chính phương đầu theo thứ tự tăng dần: .

Số chính phương 

Tiếp tục như trên, ta dự đoán được công thức tính số chính phương thứ n là với

Bài 2: Nhận biết dãy số hữu hạn

1. Liệt kê tất cả các số chính phương nhỏ hơn 50 và sắp xếp chúng theo thứ tự từ bé đến lớn.
2. Viết công thức số hạng của các số tìm được ở câu a và nêu rõ điều kiện của n

Đáp án:

a) Các số chính phương < 50 được sắp xếp theo thứ tự từ bé đến lớn là

.

b)  với và n ≤ 8.

Bài 3: a) Xét dãy số gồm tất cả các số tự nhiên chia cho 5 dư 1 theo thứ tự tăng dần. Xác định số hạng tổng quát của dãy số.

b) Viết dãy số hữu hạn gồm năm số hạng đầu của dãy số trong câu a. Xác định số hạng đầu và số hạng cuối của dãy số hữu hạn này.

Đáp án:

a) Xét số tự nhiên a ≠ 0, có a ： cho 5 dư 1 => E số tự nhiên q khác 0 để .

Xét dãy số gồm tất cả các số tự nhiên ∶ cho 5 dư 1 theo thứ tự tăng dần. 

=>

b) Dãy gồm năm số hạng đầu của dãy số trong câu a là:

số hạng đầu , số hạng cuối: .

2. CÁC CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ

Bài 1: Nhận biết các cách cho một dãy số

Xét dãy số () gồm tất cả các số nguyên dương chia hết cho 5, sắp xếp từ bé đến lớn: 5, 10, 15, 20, 25, 30,...

1. Viết công thưc số hạng tổng quát của dãy số 
2. Xác định số hạng đầu và viết công thức tính số hạng thứ n theo số hạng thứ n - 1 của dãy số. Công thức thu được gọi là hệ thức truy hồi.

Đáp án:

a)

b) .

Công thức tính số hạng thứ n theo số hạng thứ

Bài 2: 

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số () với số hạng tổng quát = n!.

b) Viết năm số hạng đầu của dãy số Fibonacci () cho bởi hệ thức truy hồi

Đáp án:

a) Năm số hạng đầu của dãy số với số hạng tổng quát là

b) Năm số hạng đầu của dãy số Fibonacci là

Chú ý

Để có hình ảnh trực quan về dãy số, ta thường biểu diễn các số hạng của nó trên trục số. Chẳng hạn, xét dãy số với . Năm số hạng đầu tiên của dãy số này là: 

và được biểu diễn trên trục số như trên.

3. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN

Bài 1: Nhận biết dãy số tăng, dãy số giảm

1. Xét dãy số () với = 3n -1. Tính và so sánh với
2. Xét dãy số ( . Tính và so sánh với

Đáp án:

a) 

Hiệu có: , 

=> .

Vậy

b) .

Hiệu ta có: 

ℕ^* 

=>  

Vậy .

Bài 2: Xét tính tăng, giảm của dãy số (), với =

Đáp án:

=>  

Vậy là dãy số giảm.

Bài 3: Nhận biết dãy số bị chặn

Cho dãy số () với ,

1. So sánh và 1.
2. So sánh và 2.

Đáp án:

a)

b)   

=>  

Do đó, . 

Bài 4: Xét tính bị chặn của dãy số = 2n -1.

Đáp án:

u_n = 2n – 1 ≥ 1, ∀ n ∈ ℕ^*.

Dãy số (u_n) bị chặn dưới.

Dãy số (u_n) không bị chặn trên vì không có số M nào thỏa mãn:

= 2n – 1 ≤ M

Vậy dãy số bị chặn dưới và không bị chặn trên nên không bị chặn.

Bài 5: Anh Thanh vừa được tuyển vào một công ty công nghệ, được cam kết lương năm đầu sẽ là 200 triệu đồng và lương mỗi năm tiếp theo sẽ được tăng thêm 25 triệu đồng. Gọi (triệu đồng) là lương và năm thứ n mà anh Thanh làm việc cho công ty đó. Khi đó ta có:

= 200, = + 25 với n ≥ 2

Đáp án:

a)

Vậy lương của anh Thanh vào năm thứ 5 làm việc cho công ty là 300 triệu đồng.

b) Ta có: ∀

=>  

Vậy là dãy số tăng. Điều này có nghĩa là mức lương hàng năm của anh Thanh tăng dần theo thời gian làm việc

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài tập 2.1: Viết năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của các dãy số () có số hạng tổng quát cho bởi:

1. = 3n -2

2. = 3.

3. =

Đáp án:

a) 

b) 

.

c) 

Bài tập 2.2: Dãy số () cho bởi hệ thức truy hồi...

Đáp án:

a) Năm số hạng đầu của dãy số là

.

b) 

 ;

=> công thức số hạng tổng quát của là  

CÒN TIẾP…