Bài tập về tính số độ dài, tỉ số diện tích hai tam giác

5.

a) Áp dụng tính chất của đường phân giác BD vào $\Delta $ABC ta được:

$\frac{DA}{DC}=\frac{AB}{CB}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

$\Rightarrow $ AD = $\frac{2}{5}$AC = 2(cm); DC = $\frac{3}{5}$AC = 3(cm)

b) Ta có:

$\frac{S_{DAE}}{S_{ACE}}=\frac{AD}{AC}=\frac{2}{5}$ (1)(vì chung đường cao kẻ từ E đến AC)

$\frac{S_{ACE}}{S_{ABC}}=\frac{AE}{AB}$ (vì chung đường cao kẻ từ C đến AB)

Áp dụng tính chất của đường phân giác CE vào $\Delta $ABC ta được:

$\frac{AE}{EB}=\frac{AC}{BC}\Rightarrow \frac{AE}{AC}=\frac{EB}{BC}$

Hay $\frac{AE}{5}=\frac{EB}{6}=\frac{AE+EB}{5+6}=\frac{AB}{11}$

$\Rightarrow \frac{AE}{AB}=\frac{5}{11}$

$\Rightarrow \frac{S_{ACE}}{S_{ABC}}=\frac{5}{11}$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \frac{S_{DAE}}{S_{ACE}}.\frac{S_{ACE}}{S_{ABC}}=\frac{2}{5}.\frac{5}{11}=\frac{2}{11}$

Hay $\Rightarrow \frac{S_{DAE}}{S_{ABC}}=\frac{2}{11}$

6.

Kẻ EI // BK thì DI // EK.

Áp dụng định lí Ta-lét vào $\Delta $AID và $\Delta $BKC có DI // EK và DI // BK, ta được:

$\frac{AK}{KI}=\frac{AE}{ED}=\frac{3}{2}\Rightarrow AK=\frac{3KI}{2}$ (1)

$\frac{CK}{KI}=\frac{CB}{BD}$ (2)

Áp dụng tính chất của đường phân giác AD vào $\Delta $ABC ta được:

$\frac{CD}{DB}=\frac{CA}{AB}$ hay $\frac{CD}{DB}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$

$\Rightarrow \frac{CD}{2}=\frac{DB}{3}=\frac{CD+DB}{2+3}=\frac{BC}{5}$

$\Rightarrow \frac{CB}{BD}=\frac{5}{3}$  (3)

Thay (3) vào (2) ta được:

$\frac{CK}{KI}=\frac{5}{3}\Rightarrow CK=\frac{5KI}{3}$ (4)

Chia theo vế đẳng thức (1) và (4) ta được:

$\frac{AK}{KC}=\frac{3KI}{2}:\frac{5KI}{3}=\frac{9}{10}$

7.

a) Áp dụng tính chất của các đường phân giác AD và BI vào $\Delta $ABC và $\Delta $ABD ta được:

$\frac{DI}{IA}=\frac{DB}{BA}=\frac{DB}{c}$ (1)

$\frac{DB}{BA}=\frac{DC}{CA}$ hay $\frac{DB}{c}=\frac{DC}{b}=\frac{BC}{b+c}=\frac{a}{b+c}$

$\Rightarrow DB=\frac{ac}{b+c}$ (2)

Thay (2) vào (1) ta được:

$\frac{DI}{IA}=\frac{ac}{c(b+c)}=\frac{a}{b+c}$

$\Rightarrow \frac{DI}{a}=\frac{IA}{b+c}=\frac{DI+IA}{a+b+c}=\frac{AD}{a+b+c}$

$\Rightarrow \frac{DI}{DA}=\frac{a}{a+b+c}$ (3)

b) Chứng minh tương tự như câu a) ta cũng được:

$\frac{EI}{EB}=\frac{b}{a+b+c}$ (4); $\frac{FI}{FC}=\frac{c}{a+b+c}$ (5)

Cộng theo vế các đẳng thức (3), (4) và (5) ta được:

$\frac{DI}{DA}+\frac{EI}{EB}+\frac{FI}{FC}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1$