Bài tập về tính giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

1. A = $x^{2}-5x+2$

       = $\left ( x-\frac{5}{2} \right )^{2}-\frac{17}{4}$

Vì $\left ( x-\frac{5}{2} \right )^{2}\geq 0$ nên A $\geq 0-\frac{17}{4}$. Hay A $\geq -\frac{17}{4}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng -$\frac{17}{4}$ khi x = $\frac{5}{2}$

2. B = $5x-x^{2}+3$

       = $\frac{37}{4}-\left ( x-\frac{5}{2} \right )^{2}$

Vì $\left ( x-\frac{5}{2} \right )^{2}\geq 0$ nên B $\leq \frac{37}{4}-0$. Hay B $\leq \frac{37}{4}$

Vậy giá trị lớn nhất của B bằng $\frac{37}{4}$ khi x = $\frac{5}{2}$

3. C = $\frac{2x+1}{x^{2}}$

   ĐKXĐ: $x\neq 0$

Ta có: C = $\frac{2x+1}{x^{2}}=\frac{(x+1)^{2}-x^{2}}{x^{2}}=\left ( \frac{x+1}{x} \right )^{2}-1$

Vì $\left ( \frac{x+1}{x} \right )^{2}\geq 0$ nên C $\geq 0-1$. Hay C $\geq $ -1

Vậy giá trị nhỏ nhất của C bằng -1 khi x = -1

4. D = $\frac{5x^{2}-2x+1}{x^{2}}$

  ĐKXĐ: $x\neq 0$

Ta có: D = $\frac{5x^{2}-2x+1}{x^{2}}$

              = $5-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}$

Đặt y = $\frac{1}{x}$ ($y\neq 0$) thì ta có:

D = $5-2y+y^{2}=(y-1)^{2}+4\geq 4$

Vậy giá trị nhỏ nhất của D bằng 4 khi y = 1 hay x = 1

5. E = $(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) = [(x-1)(x+6)].[(x+2)(x+3)]$

       = $(x^{2}+5x-6)(x^{2}+5x+6)$

       = $(x^{2}+5x)^{2}-6^{2}$

Vì $(x^{2}+5x)^{2}\geq 0$ nên E $\geq $ -36

Vậy giá trị nhỏ nhất của E bằng -36 khi $x^{2}+5x=0\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=-5$

6. M = $x^{2}-2x+y^{2}+4y+7$

        = $(x-1)^{2}+(y+2)^{2}+2$

Vì $(x-1)^{2}\geq 0;(y+2)^{2}\geq 0\forall x, y \in R$ nên M $\geq $ 2

Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng 2 khi x = 1 và y = -2