Bài tập về quy đồng mẫu thức hai phân thức đại số

1. 

a) $\frac{x+2}{x-1}$ và $\frac{x+3}{x+1}$

MTC = $(x-1)(x+1)=x^{2}-1$. Quy đồng:

$\frac{x+2}{x-1}=\frac{(x+2)(x+1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x^{2}+3x+2}{x^{2}-1}$

$\frac{x+3}{x+1}=\frac{(x+3)(x-1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{x^{2}+2x-3}{x^{2}-1}$

b) $\frac{2}{x-1}$ và $\frac{x+2}{x^{2}-1}$

MTC = $(x-1)(x+1)=x^{2}-1$. Quy đồng:

$\frac{2}{x-1}=\frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{2(x+1)}{x^{2}-1}$

$\frac{x+2}{x^{2}-1}$

c) $\frac{3}{x-2}$ và $\frac{5}{2x-x^{2}}$

MTC: $x(x-2)=x^{2}-2x$. Quy đồng:

$\frac{3}{x-2}=\frac{3x}{x(x-2)}=\frac{3x}{x^{2}-2x}$

$\frac{5}{2x-x^{2}}=\frac{-5}{x^{2}-2x}$

d) $\frac{x+1}{x-1}$ và $\frac{2x+5}{x^{3}-1}$

MTC: $(x-1)(x^{2}+x+1)=x^{3}-1$. Quy đồng:

$\frac{x+1}{x-1}=\frac{(x+1)(x^{2}+x+1)}{(x-1)(x^{2}+x+1)}=\frac{x^{3}+2x^{2}+2x+1}{x^{3}-1}$

$\frac{2x+5}{x^{3}-1}$

2. a) Ta có: 

  $\frac{a}{x}+\frac{b}{x-1}+\frac{c}{x-2}$

= $\frac{a(x-1)(x-2)+bx(x-2)+cx(x-1)}{x(x-1)(x-2)}$

= $\frac{ax^{2}-3ax+2a+bx^{2}-2bx+cx^{2}-cx}{x(x-1)(x-2)}$

= $\frac{(a+b+c)x^{2}-(3a+2b+c)x+2a}{x(x-1)(x-2)}$

= $\frac{9x^{2}-16x+4}{x(x-1)(x-2)}$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}a+b+c=9\\ 3a+2b+c=16\\2a=4\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow $ a = 2; b = 3; c = 4

   b) Áp dụng viết phân thức $\frac{10x-4}{x^{3}-4x}$ dưới dạng tổng của ba phân thức có tử số là hằng số, mẫu theo thứ tự bằng x, x-2 và x+2.

Ta có:

  $\frac{10x-4}{x^{3}-4x}=\frac{a}{x}+\frac{b}{x-2}+\frac{c}{x+2}$

= $\frac{(a+b+c)x^{2}+2(b-c)x-4a}{x(x-2)(x+2)}$

Từ đó ta tìm được a = 1; b = $\frac{9}{2}$; c = -$\frac{11}{2}$

Vậy $\frac{10x-4}{x^{3}-4x}=\frac{1}{x}+\frac{\frac{9}{2}}{x-2}+\frac{\frac{-11}{2}}{x+2}$