Bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử

1. 

a) $3x^{2}+6x+3-3y^{2}$

 = $3(x^{2}+2x+1-y^{2})$

 = $3[(x+1)^{2}-y^{2}]$

 = $3(x-y+1)(x+y+1)$

b) $25-x^{2}-y^{2}+2xy$

 = $25-(x^{2}+y^{2}-2xy)$

 = $5^{2}-(x-y)^{2}$

 = $(5+x-y)(5-x+y)$

c) $(1+2x)(1-2x)-x(x+2)(x-2)$

 = $1-4x^{2}-x^{3}+4x$

 = $(1-x^{3})+(4x-4x^{2})$

 = $(1-x)(1+x+x^{2})+4x(1-x)$

 = $(1-x)(1+5x+x^{2})$

d) $x^{2}-2x-4y^{2}-4y$

 = $(x^{2}-2x+1)-(4y^{2}+4y+1)$

 = $(x-1)^{2}-(2y+1)^{2}$

 = $(x+2y)(x-2y-2)$

2. 

a) $x^{3}=x$

  $\Leftrightarrow x^{3}-x=0$

  $\Leftrightarrow x(x^{2}-1)=0$

  $\Leftrightarrow x(x-1)(x+1)=0$

  $\Leftrightarrow x=0; x=1$ hoặc $x=-1$

b) $2x^{3}+2\sqrt{2}x^{2}+x=0$

  $\Leftrightarrow x(2x^{2}+2\sqrt{2}x+1)=0$

  $\Leftrightarrow x(\sqrt{2}x+1)=0$

  $\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=\frac{-1}{\sqrt{2}}$

c) $\frac{2}{3}x(x^{2}-9)=0$

  $\Leftrightarrow \frac{2}{3}x(x-3)(x+3)=0$

  $\Leftrightarrow x=0; x=3$ hoặc $x=-3$

d) $(x+2)^{2}-(x-2)(x+2)=0$

  $\Leftrightarrow (x+2)(x+2-x+2)=0$

  $\Leftrightarrow 4(x+2)=0$

  $\Leftrightarrow x=-2$

3. 

Ta có: 

  $(a+b)^{2}-(a-b)^{2}$

= $(a^{2}+2ab+b^{2})-(a^{2}-2ab+b^{2})$

= $a^{2}+2ab+b^{2}-a^{2}+2ab-b^{2}$

= $4ab$ (đpcm)

Áp dụng kết quả trên ta có:

a) Với a-b = 3 và ab = 4 thì $(a+b)^{2}=(a-b)^{2}+4ab$ = $3^{2}+4.4$ = 25

b) Với a+b = 6 và ab = 8 thì $(a-b)^{2}=(a+b)^{2}-4ab$ = $6^{2}-8.4$ = 4

4. a) Ta có:

  $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc$

= $(a+b)^{3}-3a^{2}b-3ab^{2}+c^{3}-3abc$

= $[(a+b)^{3}-c^{3}]-(3a^{2}b+3ab^{2}+3abc)$

= $(a+b+c)[(a+b)^{2}-c(a+b)+c^{2}]-3ab(a+b+c)$

= $(a+b+c)(a^{2}+2ab+b^{2}-ac-bc+c^{2}-3ab)$

= $(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac)$

   b) Áp dụng ta có:

Đặt x-y = a; y-z = b; z-x = c thì a+b+c = 0. Khi đó $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=0$ nên $a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc$

Vậy $(x-y)^{3}+(y-z)^{3}+(z-x)^{3}$ = $3(x-y)(y-z)(z-x)$

5. 

A = $x^{2}(y-z)+y^{2}(z-x)+z^{2}(x-y)$

  = $x^{2}(y-z)-y^{2}[(y-z)+(x-y)]+z^{2}(x-y)$

  = $(y-z)(x^{2}-y^{2})-(x-y)(y^{2}-x^{2})$

  = $(y-z)(x+y)(x-y)-(x-y)(y+z)(y-z)$

  = $(y-z)(x-y)(x+y-y-z)$

  = $(y-z)(x-y)(x-z)$