Bài tập về giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

1. 

a) |3x| = x + 8     (1)

+) Xét x $\geq $ 0 $\Leftrightarrow $ |3x| = 3x, khi đó:

(1) $\Leftrightarrow $ 3x = x + 8 $\Leftrightarrow $ x = 4 (thỏa mãn x $\geq $ 0)

+) Xét x < 0 $\Leftrightarrow $ |3x| = -3x, khi đó:

(1) $\Leftrightarrow $ -3x = x + 8 $\Leftrightarrow $ x = -2 (thỏa mãn x < 0)

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 4 và x = -2

b) 2x = |4x+8|     (2)

+) Xét |4x+8| = 4x + 8 $\Leftrightarrow $ x $\geq $ -2. Khi đó:

(2) $\Leftrightarrow $ 2x = 4x + 8 $\Leftrightarrow $ x = -4 (không thỏa mãn x $\geq $ -2)

+) Xét |4x+8| = -4x - 8 $\Leftrightarrow $ x < -2. Khi đó:

(2) $\Leftrightarrow $ 2x = -4x - 8 $\Leftrightarrow $ x = -$\frac{4}{3}$ (không thỏa mãn x < -2)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

c) |x-3| - x = 7     (5)

+) Xét |x-3| = x - 3 $\Leftrightarrow $ x $\geq $ 3. Khi đó:

(3) $\Leftrightarrow $ x - 3 - x = 7 $\Leftrightarrow $ -3 = 7 (vô lí)

+) Xét |x-3| = -x + 3 $\Leftrightarrow $ x < 3. Khi đó:

(3) $\Leftrightarrow $ -x + 3 - x = 7 $\Leftrightarrow $ x = -2 (thỏa mãn x < 3)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = -2

d) |x+2| = 3 - 5x     (4)

+) Xét |x+2| = x + 2  $\Leftrightarrow $ x $\geq $ -2. Khi đó:

(4) $\Leftrightarrow $ x + 2 = 3 - 5x $\Leftrightarrow $ x = $\frac{1}{6}$ (thỏa mãn x $\geq $ -2)

+) Xét |x+2| = -x - 2 $\Leftrightarrow $ x < -2. Khi đó:

(4) $\Leftrightarrow $ -x - 2 = 3 - 5x $\Leftrightarrow $ x = $\frac{5}{4}$ (không thỏa mãn x < -2)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = $\frac{5}{4}$

2. 

a) |x-1| = |x-5|

 $\Leftrightarrow $ x - 1 = x - 5 hoặc x - 1 = -x + 5

 $\Leftrightarrow $ -1 = -5 (vô lí) hoặc x = 3

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 3

b) |x-1| = |3x-5|

 $\Leftrightarrow $ x - 1 = 3x - 5 hoặc x - 1 = -3x + 5

 $\Leftrightarrow $ x = 2 hoặc x = $\frac{3}{2}$

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x = 2 ; x = $\frac{3}{2}$

c) |x-4| + |x+1| = 9     (3)

+) Xét x < -1 thì |x-4| = -x + 4; |x+1| = -x - 1. Khi đó 

(3) $\Leftrightarrow $ -x + 4 - x - 1 = 9 $\Leftrightarrow $ x = -3 (thỏa mãn x < -1)

+) Xét -1 $\leq $ x < 4 thì |x-4|= -x + 4; |x+1| = x + 1. Khi đó:

(3) $\Leftrightarrow $ -x + 4 + x + 1 = 9 $\Leftrightarrow $ 5 = 9 (vô lí)

+) Xét x $\geq $ 4 thì |x-4| = x - 4; |x+1| = x + 1. Khi đó:

(3) $\Leftrightarrow $ x - 4 + x + 1 = 9 $\Leftrightarrow $ x = 6 (thỏa mãn x $\geq $ 4)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 6 và x = -3

d) |x-3| + |x+4| = 2

+) Xét x < -4 thì |x-3| = -x + 3; |x+4| = -x - 4. Khi đó 

(4) $\Leftrightarrow $ -x + 3 - x - 4 = 2 $\Leftrightarrow $ x = -$\frac{3}{2}$ (không thỏa mãn x < -4)

+) Xét -4 $\leq $ x < 3 thì |x+4|= x + 4; |x-3| = -x + 3. Khi đó:

(4) $\Leftrightarrow $ x + 4 - x + 3 = 2 $\Leftrightarrow $ 7 = 2 (vô lí)

+) Xét x $\geq $ 3 thì |x+4| = x + 4; |x-3| = x - 3. Khi đó:

(4) $\Leftrightarrow $ x + 4 + x - 3 = 2 $\Leftrightarrow $ x = $\frac{1}{2}$ (không thỏa mãn x $\geq $ 3)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

e) |x| - |2x+3| = x - 1     (5)

+) Xét x < $\frac{-3}{2}$ thì |x| = -x; |2x+3| = -2x - 3. Khi đó:

(5) $\Leftrightarrow $ -x + 2x + 3 = x - 1 $\Leftrightarrow $ 3 = -1 (vô lí)

+) Xét $-\frac{3}{2}\leq $ x < 0 thì |x| = -x; |2x+3| = 2x + 3. Khi đó:

(5) $\Leftrightarrow $ -x - 2x - 3 = x - 1 $\Leftrightarrow $ x = -$\frac{1}{2}$ (thỏa mãn $-\frac{3}{2}\leq $ x < 0)

+) Xét x $\geq $ 0 thì |x| = x; |2x+3| = 2x + 3. Khi đó:

(5) $\Leftrightarrow $ x - 2x - 3 = x - 1 $\Leftrightarrow $ x = -1 (không thỏa mãn x $\geq $ 0)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = -$\frac{1}{2}$