Bài tập về chứng minh hai đường thẳng song song

1.

Áp dụng định lí Ta-lét vào $\Delta $ABC và $\Delta $ACD có EO // BC, OF // CD, ta được:

$\frac{AE}{EB}=\frac{AO}{OC}$

$\frac{AF}{FD}=\frac{AO}{OC}$

$\Rightarrow \frac{AE}{EB}=\frac{AF}{FD}$

Điều này chứng tỏ đường thẳng EF cắt hai cạnh AB, AD của $\Delta $ABD và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ nên EF // DB.

2.

Gọi giao điểm của AC và BD là O.

Từ giả thiết ME // CD và NF // AB suy ra ME // CN và NF // BM.

ME // CN $\Rightarrow \frac{EO}{OC}=\frac{MO}{ON}$ (theo định lí Ta-lét)

NF // BM $\Rightarrow \frac{BO}{OF}=\frac{MO}{ON}$ (theo định lí Ta-lét)

$\Rightarrow \frac{EO}{OC}=\frac{BO}{OF}$

Điều này chứng tỏ đường thẳng BE cắt hai cạnh OC, OF kéo dài của $\Delta $OCF và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ nên BE // CF.

3.

$\Delta $ACI có NK // IC

$\Rightarrow \frac{AN}{AI}=\frac{AK}{AC}$ (1) (theo định lí Ta-lét)

$\Delta $AKB có IM // BK

$\Rightarrow \frac{AI}{AB}=\frac{AM}{AK}$ (2) (theo định lí Ta-lét)

Nhân theo vế các đẳng thức (1) và (2) ta được:

$\frac{AN}{AB}=\frac{AM}{AC}$

Điều này chứng tỏ đường thẳng MN cắt hai cạnh AB, AC của $\Delta $ABC và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ nên MN // BC.

4.

Ta tính diện tích $\Delta $ABC theo hai cách:

S = $\frac{1}{2}$BD.AC = $\frac{1}{2}$BF.AC (do BD = BF theo giả thiết)

S = $\frac{1}{2}$CE.AB = $\frac{1}{2}$CG.AB (do CG = CE theo giả thiết)

$\Rightarrow BF.AC = CG.AB$

$\Rightarrow \frac{BF}{BA}=\frac{CG}{CA}$

Điều này chứng tỏ đường thẳng FG cắt hai cạnh AB, AC của $\Delta $ABC và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ nên FG // BC.