Bài tập về chứng minh bất đẳng thức

1. Ta có:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{ab}+\frac{b^{2}}{ab}\geq 2\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}\geq 2ab\Leftrightarrow (a-b)^{2}\geq 0$ (luôn đúng)

Vậy $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$, dấu "=" xảy ra khi a = b

2. Ta có:

 $a(a+2)< (a+1)^{2}\Leftrightarrow a^{2}+2a<a^{2}+2a+1\Leftrightarrow 0<1$ (luôn đúng)

Vậy $a(a+2)< (a+1)^{2}$

3. Ta có: 

$(a+b)\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )\geq 4\Leftrightarrow 1+\frac{a}{b}+1+\frac{b}{a}\geq 4\Leftrightarrow 2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 4\Leftrightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$ (chứng minh ở câu 1)

Vậy $(a+b)\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )\geq 4$, dấu "=" xảy ra khi a = b 

4. Gọi chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật là a, b (a, b > 0)thì a+b=20. Yêu cầu của đề bài tương đương với $a.b \leq 100$ với a+b=20

Chứng minh : $(a+b)^{2}\geq 4ab\Leftrightarrow 20^{2}\geq 4ab\Leftrightarrow ab\leq 100$ (đpcm)

Vậy diện tích hình vuông có cạnh là 10m không nhỏ hơn diện tích hình chữ nhật có cùng chu vi, dấu "=" xảy ra khi a = b.

5. Áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số thực ta có:

 $a^{2}+b^{2}\geq 2ab$

 $a^{2}+1\geq 2a$

 $b^{2}+1\geq 2b$

$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+a^{2}+1+b^{2}+1\geq 2ab+2a+2b$

$\Leftrightarrow 2(a^{2}+b^{2}+1)\geq 2(ab+a+b)$

$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+1\geq ab+a+b$

Vậy $a^{2}+b^{2}+1\geq ab+a+b$, dấu "=" xảy ra khi a = b = 1.