Bài tập về bất phương trình bậc nhất một ẩn

1. 

a) 9x - 3(2x+1) > 5x + 2(1-5x)

 $\Leftrightarrow $ 9x - 6x - 3 > 5x + 2 - 10x

 $\Leftrightarrow $ 8x > 5

 $\Leftrightarrow $ x > $\frac{8}{5}$

b) 4x + 3(x+5) < 3x - 5(x+1)

 $\Leftrightarrow $ 4x + 3x + 15 < 3x - 5x - 5

 $\Leftrightarrow $ 9x < -20

 $\Leftrightarrow $ x < $\frac{-20}{9}$

c) $\frac{15-6x}{3}>5$

 $\Leftrightarrow $ 15 - 6x > 15

 $\Leftrightarrow $  6x < 0

 $\Leftrightarrow $ x < 0

d) $\frac{2-x}{3}<\frac{3-2x}{5}$

 $\Leftrightarrow $ 10 - 5x < 9 - 6x

 $\Leftrightarrow $ x < -1

2. 

a) $(3x-5)^{2}>(3x+2)(5-3x)$

 $\Leftrightarrow (3x-5)^{2}+(3x+2)(3x-5)>0$

 $\Leftrightarrow (3x-5)(6x-3)>0$

Xảy ra một trong hai trường hợp sau:

TH1: 3x-5>0 và 6x-3>0

  $\Leftrightarrow $ x > $\frac{5}{3}$ và x > $\frac{1}{2}$. Hay x > $\frac{5}{3}$

TH2: 3x-5<0 và 6x-3<0

  $\Leftrightarrow $ x < $\frac{5}{3}$ và x < $\frac{1}{2}$. Hay x < $\frac{1}{2}$

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là x > $\frac{5}{3}$ hoặc x < $\frac{1}{2}$

b) $(x-3)^{2}>(x+2)^{2}$

 $\Leftrightarrow (x-3)^{2}-(x+2)^{2}>0$

 $\Leftrightarrow -10x +5>0$

 $\Leftrightarrow x<\frac{1}{2}$

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm $x<\frac{1}{2}$

3. $\frac{a+1}{x-1}=1-a$ (1)

   ĐKXĐ: $x\neq 1$

(1) $\Leftrightarrow $ $\frac{a+1}{x-1}-1+a=0$

Hay $\frac{a+1-x+1+ax-a}{x-1}=0$

  $\Leftrightarrow x(a-1)=-2$

Với a=1, phương trình có dạng 0x = -2, nên phương trình đã cho vô nghiệm

Với $a\neq 1$ phương trình có nghiệm $x=\frac{-2}{a-1}$

Để nghiệm của phương trình đã cho là số dương thì $\frac{-2}{a-1}>0\Leftrightarrow a-1<0\Leftrightarrow a<1$

Vậy a<1 thì phương trình đã cho có nghiệm là số dương

4. Ta giải từng bất phương trình:

$\frac{3x-2}{5}>\frac{x}{2}+0,8\Leftrightarrow 6x-4>5x+8\Leftrightarrow x>12$ 

$1-\frac{2x-5}{6}>\frac{3-x}{4}\Leftrightarrow 12-4x+10>9-3x\Leftrightarrow x<13$

Do đó giá trị x thỏa mãn 2 bất phương trình là 12<x<13

Mà x là số nguyên nên không có giá trị nguyên nào của x thỏa mãn cả hai bất phương trình.

5. A = $\left ( \frac{1}{1-x}+\frac{2}{x+1}-\frac{5}{1-x^{2}} \right ):\frac{1-2x}{x^{2}-1}$

   ĐKXĐ: $x\neq \pm 1$

Với $x\neq \pm 1$ ta rút gọn A:

A = $\left ( \frac{1}{1-x}+\frac{2}{x+1}-\frac{5}{1-x^{2}} \right ):\frac{1-2x}{x^{2}-1}$

  = $\frac{x+1+2(1-x)-5}{1-x^{2}}.\frac{1-x^{2}}{2x-1}$

  = $\frac{-x-2}{2x-1}$

  = $\frac{x+2}{1-2x}$

b) Để A > 0 thì $\frac{x+2}{1-2x}>0$ $\Leftrightarrow $ x+2 và 1-2x cùng dấu

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+2>0\\1-2x>0 \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix}x+2<0\\1-2x<0 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x>-2\\ x<\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix}x<-2\\ x>\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$ (vô lí)

Vậy để A > 0 thì -2 < x < $\frac{1}{2}$