BÀI 3: PHÉP CỘNG, PHÉP TRỪ ĐA THỨC MỘT BIẾN

Khởi động

Câu hỏi: Một số tình huống trong cuộc sống dẫn đến việc cộng, trừ hai đa thức một biến, chẳng hạn, ta phải tính tổng diện tích các mặt của hình hộp chữ nhật (Hình 2) có độ dài hai cạnh đấy là x (m), 2x (m) và chiều cao là 2 (m). Phép cộng, phép trừ hai đa thức một biến được thực hiện như thế nào?

Giải nhanh:

Sắp xếp các hạng tử của hai đa thức cùng theo lũy thừa giảm (hoặc tăng) của biến, rồi đặt phép tính theo cột dọc tương tự như cộng, trừ các số (chú ý đặt các đơn thức đồng dạng ở cùng một cột).

I. Cộng hai đa thức một biến

Bài 1: 

a) Thực hiện phép cộng trong mỗi trường hợp sau: 5x² + 7x², ax² + bx² (kϵN^∗)

b) Nêu quy tắc cộng hai đơn thức có cùng số mũ của biến.

Giải nhanh:

a)

= 

b) Để cộng (hay trừ) các đơn thức đồng dạng, ta cộng (hay trừ) các hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến.

Bài 2: Cho hai đa thức:…

Giải nhanh:

a) P(x) = và Q(x) =

b) 

c) R(x) =

Bài 3: Để cộng hai đa thức P(x), Q(x), bạn Dũng viết như dưới đây có đúng không? Vì sao? Nếu chưa đúng, em hãy sửa lại cho đúng.

Giải nhanh:

Bạn Dũng viết như vậy chưa đúng vì -1 là hệ số tự do còn 2x là đơn thức chứa x nên việc đặt cùng cột để cộng là không đúng. Sửa lại:

Bài 4: Cho hai đa thức:...

Giải nhanh:

a. P(x) = và Q(x)=

b. P(x) + Q(x) = 

c. P(x) + Q(x) =

=

=

Bài 5: Tính tổng của hai đa thức sau bằng hai cách:...

Giải nhanh:

Cách 1: Tính theo hàng ngang

P(x) + Q(x) =

 Cách 2: Tính theo hàng dọc

II. Trừ hai đa thức một biến

Bài 1:

a. Thực hiện phép trừ trong mỗi trường hợp sau: 2x² − 6x²; ax^k − bx^k (kϵN^∗)

b. Nêu quy tắc trừ hai đơn thức có cùng số mũ của biến

Giải nhanh:

a.

b. Muốn trừ hai đơn thức có cùng số mũ của biến, ta trừ hai hệ số cho nhau.

Bài 2: Cho 2 đa thức …

Giải nhanh:

a) Ta có:

P(x) = 4x² + 1 + 3x = 4x² + 3x + 1.

Q(x) = 5x + 2x² + 3 = 2x² + 5x + 3.

b) 

c) R(x) =

Bài 3: Để cộng hai đa thức P(x), Q(x), bạn Dũng viết như dưới đây có đúng không? Vì sao? Nếu chưa đúng, em hãy sửa lại cho đúng.

Giải nhanh:

Bạn Dũng viết như vậy chưa đúng vì -1 là hệ số tự do còn 2x là đơn thức chứa x nên việc đặt cùng cột để cộng là không đúng. Sửa lại:

Bài 4: Cho hai đa thức:...

Giải nhanh:

a. P(x) = và Q(x)=

b. P(x) + Q(x) = 

c. P(x) + Q(x) =

=

=

Bài 5: Tính tổng của hai đa thức sau bằng hai cách:...

Giải nhanh:

Cách 1: Tính theo hàng ngang

P(x) + Q(x) =

 Cách 2: Tính theo hàng dọc

II. Trừ hai đa thức một biến

Bài 1:

a. Thực hiện phép trừ trong mỗi trường hợp sau: 2x² − 6x²; ax^k − bx^k (kϵN^∗)

b. Nêu quy tắc trừ hai đơn thức có cùng số mũ của biến

Giải nhanh:

a.

b. Muốn trừ hai đơn thức có cùng số mũ của biến, ta trừ hai hệ số cho nhau.

Bài 2: Cho 2 đa thức …

Giải nhanh:

a) Ta có:

P(x) = 4x² + 1 + 3x = 4x² + 3x + 1.

Q(x) = 5x + 2x² + 3 = 2x² + 5x + 3.

b) 

c) Đa thức S(x) = 2x² – 2x- 2.

Bài 3: Cho 2 đa thức... Tính hiệu P(x) – Q(x)

Giải nhanh:

Bài 4: Cho hai đa thức: …

a. Sắp xếp các đa thức P(x) và Q(x) theo số mũ giảm dần của biến. 

b. Viết hiệu P(x) - Q(x) theo hàng ngang, trong đó đa thức Q(x) được đặt trong dấu ngoặc.

c. Sau khi bỏ dấu ngoặc và đổi dấu mỗi đơn thức của đa thức Q(x), nhóm các đơn thức có cùng số mũ của biến với nhau

d. Tính hiệu P(x) - Q(x) bằng cách thực hiện phép tính trong từng nhóm.

Giải nhanh:

a. P(x) =

Q(x) =

b. P(x) - Q(x) =

c. P(x) - Q(x) =

d.

Bài 5: Tính hiệu P(x) - Q(x) bằng hai cách, trong đó:...

Giải nhanh:

Cách 1: Tính theo hàng ngang

P(x) - Q(x)

Cách 2: Tính theo hàng dọc

III. Bài tập 

Bài 1: Cho hai đa thức… Tính

a. R(x) + S(x)

b. R(x) - S(x)

Giải nhanh:

a.

=  

b. 

=  

Bài 2: Xác định bậc của hai đa thức là tổng, hiệu của:…

Giải nhanh:

=

=> Bậc của đa thức là tổng của A(x)+ B(x) là 4.

=

=> Bậc của đa thức là hiệu của A(x) – B(x) là 5.

Bài 3: Bác Ngọc gửi ngân hàng thứ nhất 90 triệu đồng với kì hạn 1 năm, lãi suất x%/ năm. Bác Ngọc gửi ngân hàng thứ hai 80 triệu đồng với kì hạn 1 năm, lãi suất (x+1,5)%/năm. Hết kì hạn 1 năm, bác Ngọc có được cả gốc và lãi là bao nhiêu:

a. Ở ngân hàng thứ hai?

b. Ở cả hai ngân hàng?

Giải nhanh:

a. Hết kì hạn 1 năm ở ngân hàng thứ 2, bác Ngọc có được cả gốc và lãi là: 

  (triệu đồng).

b. Sau kì hạn 1 năm, số tiền bác Ngọc có được cả gốc lẫn lãi ở ngân hàng thứ nhất là:

(triệu đồng).

Hết kì hạn 1 năm ở cả hai ngân hàng, bác Ngọc có được cả gốc và lãi là:

  (triệu đồng)

Bài 4: Người ta rót nước từ một can đựng 10 lít nước sang một bể rỗng có dạng hình lập phương với độ dài cạnh 20cm. Khi mực nước trong bể cao h (cm) thì thể tích nước trong can còn lại bao nhiêu? Biết rằng 1 lit = 1dm³

Giải nhanh:

Thể tích nước trong can ban đầu là 10 lít.

Thể tích nước trong bể khi mực nước có chiều cao h (cm) là:

20 . 20 . h = 400h (cm³).

Đổi 400h cm³ = 0,4h dm³ = 0,4.h (lít).

Thể tích nước trong bể bằng thể tích nước trong can rót ra nên thể tích nước còn lại trong can là: 10 - 0,4h (lít).

Bài 5: Bạn Minh cho rằng "Tổng của hai đa thức bậc bốn luôn luôn là đa thức bậc bốn". Bạn Quân cho rằng: "Hiệu của hai đa thức bậc bốn luôn luôn là đa thức bậc bốn." Hai bạn Minh và Quân nói như vậy có đúng không? Giải thích vì sao?

Giải nhanh:

Minh và Quân nói như vậy là không đúng. Tổng hoặc hiệu của hai đa thức bậc bốn có thể không phải là đa thức bậc bốn.

Chẳng hạn:

A(x) = x⁴ + 1; B(x) = -x⁴ + x³; C(x) = x⁴.

Khi đó A(x) + B(x) = x⁴ + 1 + (-x⁴ + x³) = x⁴ + 1 - x⁴ + x³ = (x⁴ - x⁴) + x³ + 1 = x³ + 1 là đa thức bậc ba.

A(x) - C(x) = x⁴ + 1 - x⁴ = (x⁴ - x⁴) + 1 = 1 là đa thức bậc không.