I. CỘNG HAI ĐA THỨC MỘT BIẾN

HĐ1:

a) $5x^{2}+7x^{2} = (5+7)x^{2} = 12x^{2}$

$ax^{2}+bx^{2}$ =  $(a+b) x^{2}$

b) Để cộng (hay trừ) các đơn thức đồng dạng, ta cộng (hay trừ) các hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến.

HĐ2:

a) P(x) = $5x^{2}+2x+4$ và Q(x)= $x^{2}+8x+1$

b)

c) R(x) = $6x^{2}+10x+5$

Nhận xét: Để cộng hai đa thức một biến (theo cột dọc), ta có thể làm như sau:

• Thu gọn mỗi đa thức và sắp xếp hai đa thức đó cùng theo số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến;
• Đặt hai đơn thức có cùng số mũ của biến ở cùng cột;
• Cộng hai đơn thức trong từng cột, ta có tổng cần tìm.

Ví dụ 1 (SGK – tr55)

Ví dụ 2 (SGK – tr55)

Luyện tập 1: 

Bạn Dũng viết như vậy chưa đúng vì -1 là hệ số tự do còn 2x là đơn thức chứa x nên việc đặt cùng cột để cộng là không đúng.

P(x) = $6x^{2} + 3x - 1$

Q(x) = $8x^{2} + 2x + 6$

P(x) + Q(x) = $14x^{2} + 5x + 5$

Chú ý: Khi cộng đa thức theo cột dọc nếu một đa thức khuyết số mũ nào của biến thì khi viết đa thức đó, ta bỏ trống cột tương ứng với số mũ trên.

HĐ3:

a) P(x) = $-x^{2}+3x+1$ và Q(x)= $3x^{2}-5x+4$

b) P(x) + Q(x) = $-x^{2}+3x+1+3x^{2}-5x+4$ 

c) P(x) + Q(x) = $-x^{2}+3x+1+3x^{2}-5x+4$

= $(-2x^{2}+3x^{2})+(3x-5x)+(1+4)$

= $x^{2}-2x+5$

Nhận xét: Để cộng hai đa thức một biến (theo hàng ngang), ta có thể làm như sau:

• Thu gọn mỗi đa thức và sắp xếp hai đa thức đó cùng theo số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến;
• Viết tổng hai đa thức theo hàng ngang;
• Nhóm các đơn thức có cùng số mũ của biến với nhau;
• Thực hiện phép tính trong từng nhóm, ta được tổng cần tìm.

Ví dụ 3 (SGK – tr56)

Luyện tập 2: 

P(x) + Q(x) = $-6x^{3} + \frac{11}{2}x^{2} + 8x + 4$

II. TRỪ HAI ĐA THỨC MỘT BIẾN

HĐ4:

a) $2x^{2} - 6x^{2} = -4x^{2}$

$ax^{k} - bx^{k} = (a - b)x^{2}$

b) Muốn trừ hai đơn thức có cùng số mũ của biến, ta trừ hai hệ số cho nhau.

HĐ5:

a) Ta có: 

P(x) = 4x$^{2}$ + 1 + 3x = 4x$^{2}$ + 3x + 1

Q(x) = 5x + 2x$^{2}$ + 3 = 2x$^{2}$ + 5x + 3

b) 

c) Đa thức S(x) = 2x$^{2}$ – 2x- 2.

Nhận xét: Để trừ đa thức P(x) cho đa thức Q(x) (theo cột dọc), ta có thể làm như sau:

• Thu gọn mỗi đa thức và sắp xếp hai đa thức đó cùng theo số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến;
• Đặt hai đơn thức có cùng số mũ của biến ở cùng cột sao cho đơn thức của P(x) ở trên và đơn thức của Q(x) ở dưới;
• Trừ hai đơn thức trong từng cột, ta có hiệu cần tìm.

Ví dụ 4 (SGK – tr57)

Ví dụ 5 (SGK – tr58)

Luyện tập 3: 

P(x) - Q(x) = $6x^{4} - 3x^{2}- 8x -1$

HĐ6:

a) P(x) = $-3x^{2} + 7x + 2$;         Q(x) = $5x^{2} - 4x + 1$

b) P(x) - Q(x) = $-3x^{2} + 7x + 2 - (5x^{2} - 4x + 1)$

c) P(x) - Q(x) = $(3x^{2} - 5x^{2}) + (7x - 4x) + (2 + 1)$

d) P(x) - Q(x) = $8x^{2} + 11x + 1$

Nhận xét: Để trừ đa thức P(x) cho đa thức Q(x) (theo hàng ngang), ta có thể làm như sau: 

• Thu gọn mỗi đa thức và sắp xếp hai đa thức đó cùng theo số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến;
• Viết hiệu P(x) – Q(x) theo hàng ngang, trong đó đa thức Q(x) được đặt trong dấu ngoặc;
• Sau khi bỏ dấu ngoặc và đổi dấu mỗi đơn thức trong dạng thu gọn của đa thức Q(x), nhóm các đơn thức có cùng số mũ của biến với nhau;
• Thực hiện phép tính trong từng nhóm, ta được hiệu cần tìm.

Ví dụ 6 (SGK – tr59)

Luyện tập 4: 

P(x) - Q(x) = $15x^{3} + 2x^{2} + 3x - 5$