CHƯƠNG 1: SỐ TỰ NHIÊN

BÀI 13: BỘI CHUNG VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

1.BỘI CHUNG VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

Bài 1: a) Nêu một số bội của 2 và của 3 theo thứ tự tăng dần:

b) Tìm các số vừa ở trong hàng thứ nhất vừa ở trong hàng thứ hai. 

c) Xác định số nhỏ nhất khác 0 trong các bội chung của 2 và 3.

Giải nhanh:

a)

b) 0, 6, 12, 18

c) 6

Bài 2: Hãy nêu bốn bội chung của 5 và 9.

Giải nhanh:

B (5) = {0; 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40; 45; 50; 55; 60; 65; 70; 75; 80; 85; 90; 95; 100; 105; 110; 115; 120; 125; 130; 135} 

B (9) = {0; 18; 27; 36; 45; 54; 63; 72; 81; 90; 99; 108; 117; 126; 135}

BC (5, 9) = {0; 45; 90; 135}

Bài 3: Quan sát bảng sau:

a) Viết ba bội chung của 8 và 12 theo thứ tự tăng dần.

b) Tìm BCNN(8, 12).

c) Thực hiện phép chia ba bội chung của 8 và 12 cho BCNN(8, 12).

Giải nhanh:

a) BC (8, 12) = {0; 24; 48; 72}

b) BCNN(8, 12) = 24 

c) 24 : 24 = 1

48 : 24 = 2

72 : 24 = 3

Bài 4: Tìm tất cả các số có ba chữ số là bội chung của a và b, biết rằng BCNN(a, b) = 300.

Giải nhanh:

B(300) = {0; 300; 600; 900; 1 200; …}

BC(a, b) = {300; 600; 900}

2. TÌM BỘI CHUNG NHỎ NHẤT BẰNG CÁCH PHÂN TÍCH CÁC SỐ RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ

Bài 1: Ta có thể tìm BCNN(6,8)

Giải nhanh:

Bước 1. Phân tích 6 và 8 ra thừa số nguyên tố

          6 = 2 . 3

          8 = 2 . 2 . 2 = 2³

Bước 2. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và các thừa số nguyên tố riêng của 6 và 8 lần lượt là 2 và 3.

Bước 3. Với mỗi thừa số nguyên tố 2 và 3, ta chọn lũy thừa với số mũ lớn nhất

+) Số mũ lớn nhất của 2 là 3; ta chọn 2³.

+) Số mũ lớn nhất của 3 là 1; ta chọn 3¹.

Bước 4. Lấy tích của các lũy thừa đã chọn, ta nhận được bội chung nhỏ nhất cần tìm BCNN(6, 8) = 2³ . 3¹ = 24.

Bài 2: Tìm bội chung nhỏ nhất của 12, 18, 27.

Giải nhanh:

• 12 = 4 . 3 = 2² . 3 
• 18 = 2 . 9 = 2 . 3² 
• 27 = 3³ 

BCNN(12, 18, 27) = 2² . 3³ = 4 . 27 = 108

3. ỨNG DỤNG BỘI CHUNG NHỎ NHẤT VÀO CỘNG, TRỪ CÁC PHÂN SỐ KHÔNG CÙNG MẪU

Bài 1: Thực hiện phép tính 5/12 + 7/18

Giải nhanh:

+) Quy đồng mẫu hai phân số bằng cách chọn mẫu chung là tích của hai mẫu:

Mẫu chung = 12 . 18 = 216

Ta có: 

.

Vậy

 .

+) Chọn mẫu chung là BCNN của các mẫu. Cụ thể: 

Mẫu chung = BCNN(12, 18) = 36

- Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu (bằng cách chia mẫu chung cho từng mẫu), ta có:

36 : 12 = 3; 36 : 18 = 2

- Sau khi nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng, ta cộng hai phân số có cùng mẫu:

Bài 2: Thực hiện phép tính 11/15 - 3/25 + 9/10

Giải nhanh: 

+ Ta có: 15 = 3 . 5; 25 = 5² ; 10 = 2 . 5

Các thừa số nguyên tố chung và riêng của 15, 25, 10 là 2, 3 và 5; lần lượt tương ứng với các số mũ lớn nhất là 1; 1 và 2.

Khi đó: BCNN(15, 25, 10) = 2 . 3 . 5² = 6 . 25 = 150

+ Ta có: 150 : 15 = 10; 150 : 25 = 6; 150 : 10 = 15

+ Khi đó: 

Vậy 

BÀI TẬP

Bài 1: a) Hãy viết các ước của 7 và các ước của 8. Tìm ƯCLN(7, 8).

b) Hai số 7 và 8 có nguyên tố cùng nhau hay không? Vì sao?

c) Tìm BCNN(7, 8). So sánh bội chung nhỏ nhất với tích hai số 7 và 8.

Giải nhanh: 

a) Ư (7) = {1; 7} 

Ư (8) = {1; 2; 4; 8}

=> ƯC(7, 8) = 1 

=> ƯCLN(7, 8) = 1

b) Hai số 7 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau. Vì ƯCLN(7, 8) = 1

c) BCNN(7, 8) = 7 . 8 = 56

Bài 2: Quan sát hai thanh sau:

a) Số 0 có phải là bội chung của 6 và 10 không? Vì sao?

b) Viết bốn bội chung của 6 và 10 theo thứ tự tăng dần.

c) Tìm BCNN(6, 10).

d) Tìm các bội chung của 6 và 10 mà nhỏ hơn 160.

Giải nhanh: 

a) 0 là bội chung của 6 và 10 

b) 0; 30; 60; 90

c) BCNN(6, 10) = 30

d) 0; 30; 60; 90; 120; 150

Bài 3: Tìm bội chung nhỏ nhất của:

a) 7 và 13;

b) 54 và 108;

c) 21, 30, 70.

Giải nhanh: 

a) BCNN(7, 13) = 91. 

b) BCNN(54, 108) =108.

c) BCNN(21, 30, 70) = 210. 

Bài 4: Thực hiện phép tính sau

1. 19/48 - 3/40
2. 1/6 + 7/27 + 5/18

Giải nhanh: 

a)

b) 

Bài 5: Bội chung nhỏ nhất của hai số là 45. Một trong hai số đó là 5. Hãy tìm số còn lại.

Giải nhanh: 

Gọi số cần tìm là x

Ta có: BCNN(x, 5) = 45 

Mà 45 = 5 . 9 = 5 . 3² ; 5 = 5¹ và 5 là số nguyên tố nên x và 5 phải là hai số nguyên tố cùng nhau, mà bội chung nhỏ nhất của hai số nguyên tố cùng nhau chính bằng tích của hai số đó. 

=> x = 3² = 9.  

Bài 6: Câu lạc bộ thể thao của một trường trung học cơ sở có không quá 50 học sinh tham gia. Biết rằng khi chia số học sinh trong câu lạc bộ đó thành từng nhóm 5 học sinh hoặc 8 học sinh thì vừa hết. Câu lạc bộ thể thao đó có bao nhiêu học sinh? 

Giải nhanh: 

Gọi a là số học sinh của câu lạc bộ thể thao (a ∈ , a ≤ 50)

Vì khi chia số học sinh trong câu lạc bộ đó thành từng nhóm 5 học sinh hoặc 8 học sinh thì vừa hết nên a là bội chung của 5 và 8. 

Ta có: 5 = 5¹; 8 = 2³ 

Do đó: BCNN(5, 8) = 5¹ . 2³ = 5 . 8 = 40

Mà BC(5, 8) =  BCNN(5, 8) = 40 

Nên BC(5, 8) ={0; 40; 80; 120; …}

Vì a ≤ 50 nên a = 40. 

Bài 7: Lịch cập cảng của ba tàu như sau: tàu thứ nhất cứ 10 ngày cập cảng một lần; tàu thứ hai cứ 12 ngày cập cảng một lần; tàu thứ ba cứ 15 ngày cập cảng một lần. Vào một ngày nào đó, ba tàu cùng cập cảng. Sau ít nhất bao nhiêu ngày thì ba tàu lại cùng cập cảng? 

Giải nhanh: 

Gọi x là số ngày ít nhất mà ba tàu lại cập cảng cùng nhau. (x ∈ ℕ*)

Vì tàu thứ nhất cứ 10 ngày thì cập cảng một lần nên x là bội của 10.

Tàu thứ hai cứ 12 ngày thì cập cảng một lần nên x là bội của 12.

Tàu thứ ba cứ 15 ngày thì cập cảng một lần nên x là bội của 15.

Do đó x là bội chung của 10, 12 và 15

Mà x là ít nhất nên x là bội chung nhỏ nhất của 10, 12 và 15.

BCNN(10, 12, 15) = 2² . 3 . 5 = 4 . 3 . 5 = 60

Hay x = 60 

Vậy sau ít nhất 60 ngày thì ba tàu lại cùng nhau cập cảng. 

CÓ THỂ EM CHƯA BIẾT

Lịch can Chi

Một số nước phương Đông, trong đó có Việt Nam, gọi tên năm âm lịch bằng cách ghép tên của một trong 10 can (theo thứ tự là Giáp, Ất, Bính, Đinh, Mậu, Kỷ, Canh, Tân, Nhâm, Quý) với tên của một trong 12 chi (theo thứ tự là Tỷ, Sửu, Dần, Mão, Thìn, Tỵ, Ngọ, Mùi, Thân, Dậu, Tuất, Hợi). Đầu tiên, Giáp được ghép với Tý thành năm Giáp Tý. Cứ 10 năm, Giáp được lặp lại. Cứ 12 năm, Tý được lặp lại:

Giải thích tại sao cứ 60 năm thì năm Giáp Tý được lặp lại?

Giải nhanh: 

Vì cứ 10 năm, can Giáp được lặp lại. Cứ 12 năm, chi Tý được lặp lại, nên số năm Giáp Tý được lặp lại là bội chung của 10 và 12. Và số năm ít nhất năm Giáp Tý lặp lại là bội chung nhỏ nhất của 10 và 12. 

Ta có:

10 = 2 . 5 

12 = 2 . 2 . 3 = 2² . 3

=> BCNN(10, 12) = 2² . 3 . 5 = 60.

Vậy cứ sau 60 năm thì năm Giáp Tý được lặp lại.