BÀI 10: TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC

Khởi động

Câu hỏi: Hình 96 minh họa một miếng bìa phẳng có dạng hình tam giác đặt thăng bằng trên đầu ngón tay tại điểm G. Điểm được xác định như thế nào?

Đáp án chuẩn:

Trung điểm ba đường trung tuyến của tam giác.

I. Đường trung tuyến của tam giác

Bài 1: Quan sát hình 97 và cho biết các đầu mút của đoạn thẳng AM có đặc điểm gì?

Đáp án chuẩn:

A là một đỉnh của tam giác ABC, điểm M là trung điểm của cạnh BC.

Bài 2: Trong hình 101, đoạn HK là đường trung tuyến của những tam giác nào?

Đáp án chuẩn:

AKC và BHC

II. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Bài 1: Quan sát các đường trung tuyến AM, BN, CP của tam giác ABC trong Hình 102, cho biết ba đường trung tuyến đó có cùng đi qua một điểm hay không?

Đáp án chuẩn:

Ta thấy ba đường trung tuyến AM, BN, CP của tam giác ABC cùng đi qua điểm G.

Bài 2: Cho tam giác PQR có hai đường trung tuyến QM và RK cắt nhau tại G. Gọi I là trung điểm của cạnh QR. Chứng minh rằng 3 điểm P, G, I thằng hàng

Đáp án chuẩn:

P, G, I thẳng hàng.

Bài 3: Quan sát các đường trung tuyến AM, BN, CP của tam giác ABC trong hình 104. Bằng cách đếm số ô vuông, tìm các tỉ số AGAM;BGBN;CGCP

Đáp án chuẩn:

AGAM=23;BGBN=23;CGCP=23

III. Bài tập

Bài 1: Cho tam giác ABC. Ba đường trung tuyến AM, BN, CP đồng quy tại G. Chứng minh: GA + GA + GC = 23 (AM + BN + CP)

Đáp án chuẩn:

GA+GB+GC=23(AM+BN+CP)

Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Chứng minh:

a. BM = CN

b. ΔGBC cân tại G

Đáp án chuẩn:

a) BM = CN

b) Tam giác GBC cân tại G.

Bài 3: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MG. Chứng minh:

a. GA = GD

b. ΔMBG = ΔMCD

c. CD = 2GN

Đáp án chuẩn:

a) GA = GD 

b) ∆MBG = ∆MCD

c) CD = 2GN.

Bài 4: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G. Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng BC. Giả sử H là trung điểm của đoạn thẳng BM. Chứng minh: 

a. ΔAHB = ΔAHM

b. AG = 23AB

Đáp án chuẩn:

a) ∆AHB = ∆AHM

b) AG=23AB.

Bài 5: Hình 107 là mặt cắt đứng của một ngôi nhà ba tầng có mái dốc. Mỗi tầng cao 3,3 m. Mặt cắt mái nhà có dạng tam giác ABC cân tại A với đường trung tuyến AH dài 1,2 m. Tại vị trí O là trọng tâm tam giác ABC, người ta làm tâm cho một cửa sổ có dạng hình tròn.

a) AH có vuông góc với BC không? Vì sao?

b) Vị trí O ở độ cao bao nhiêu mét so với mặt đất. 

Đáp án chuẩn:

a) AH ⊥ BC.

b) 10,3 m