Slide bài giảng toán 8 chân trời bài 4: Hình bình hành – hình thoi

Tóm lược nội dung

BÀI 4. HÌNH BÌNH HÀNH - HÌNH THOI

1. HÌNH BÌNH HÀNH

Hoạt động 1 (Trang 73):

Hình 1a là hình ảnh của một thước vẽ truyền dùng để phóng to hay thu nhỏ một hình vẽ có sẵn. Dùng thước đo góc để đo số đo của các cặp góc và , và của tứ giác ABCD (Hình 1b) rồi rút ra nhận xét về mối quan hệ giữa các cặp cạnh AB và CD; AD và BC.

Trả lời rút gọn:

Dùng thước đo góc ta xác định được = và =

Ta có: 

+ = và hai góc này ở vị trí đồng vị nên AB // CD.

+ = và hai góc này ở vị trí đồng vị nên AD // BC.

Hoạt động 2 (Trang 74):

Cho tứ giác ABCD có các cạnh đối song song. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Hãy chứng tỏ:

‒ Tam giác ABC bằng tam giác CDA.

‒ Tam giác OAB bằng tam giác OCD.

Trả lời rút gọn:

+ Tứ giác ABCD có AB // DC và AD // BC.

Từ AB // DC suy ra = (so le trong); (so le trong).

Từ AD // BC suy ra =  (so le trong).

Xét ABC và CDA có:

=

AC là cạnh chung

=  

Do đó ABC = CDA (g.c.g).

+ Do ABC = CDA nên AB = CD (hai cạnh tương ứng).

Xét OAB và OCD có:

= ; 

AB = CD; 

(cmt)

Do đó OAB = OCD (g.c.g).

Thực hành 1 (Trang 74):

Cho hình bình hành PQRS với I là giao điểm của hai đường chéo (Hình 4). Hãy chỉ ra các đoạn thẳng bằng nhau và các góc bằng nhau có trong hình.

Trả lời rút gọn:

Trong hình bình hành PQRS với I là giao điểm của hai đường chéo, ta có:

+ Các đoạn thẳng bằng nhau: PQ = RS; PS = QR; IP = IR; IS = IQ.

+ Các góc bằng nhau:

 =;=; =;

=;=; =; =;=; =

Vận dụng 1 (Trang 74): 

Mắt lưới của một lưới bóng chuyền có dạng hình tứ giác có các cạnh đối song song. Cho biết độ dài hai cạnh của tứ giác này là 4 cm và 5 cm. Tìm độ dài hai cạnh còn lại.

Trả lời rút gọn:

Giả sử mắt lưới của lưới bóng chuyền có dạng hình tứ giác ABCD có các cạnh đối song song và độ dài hai cạnh là 4 cm, 5 cm.

Tứ giác ABCD có các cạnh đối song song nên là hình bình hành. 

Giả sử AB = 4 cm, AD = 5 cm.

Do đó CD = AB = 4 cm; BC = AD = 5 cm.

Vận dụng 2 (Trang 74):

Mặt trước của một công trình xây dựng được làm bằng kính có dạng hình bình hành EFGH với M là giao điểm của hai đường chéo (Hình 6). Cho biết EF = 40 m, EM = 36 m, HM = 16 m. Tính độ dài cạnh HG và độ dài hai đường chéo.

Trả lời rút gọn:

Vì EFGH là hình bình hành nên ta có:

+ HG = EF = 40 m;

+ M là trung điểm của EG nên EG = 2EM = 2.36 = 72 (m);

+ M là trung điểm của FH nên FH = 2MH = 2.16 = 32 (m).

Vậy HG = 40 m và độ dài hai đường chéo lần lượt là EG = 72 m, FH = 32 m.

Hoạt động 3 (Trang 75):

Cho tứ giác ABCD có P là giao điểm của hai đường chéo. 

Giải thích tại sao AB // CD và AD // BC trong mỗi trường hợp sau:

Trường hợp 1: AB = CD và AD = BC (Hình 7a).

Trường hợp 2: AB // CD và AB = CD (Hình 7b).

Trường hợp 3: AD // BC và AD = BC (Hình 7c).

Trường hợp 4: (Hình 7d).

Trường hợp 5: PA = PC, PB = PD (Hình 7e).

Trả lời rút gọn:

a) 

Xét ABC và CDA có:

AB = CD; 

BC = DA; 

AC là cạnh chung

Do đó ABC = CDA (c.c.c)

Suy ra = và= (các cặp góc tương ứng).

Vì = và hai góc này ở vị trí so le trong nên AB // CD.

Vì = và hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC.

b) 

Ta có = và hai góc này ở vị trí so le trong nên AB // CD.

Xét ABC và CDA có:

AC là cạnh chung

=

AB = CD

Do đó ABC = CDA (c.g.c)

Suy ra = (hai góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC.g

c) 

Ta có: = và hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC.

Xét ABC và CDA có:

AC là cạnh chung

=

BC = AD

Do đó ABC = CDA (c.g.c)

Suy ra = (hai góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AB // CD.

d)

Xét tứ giác ABCD ta có:

 +++=360° (định lí tổng các góc của một tứ giác)

Mà =,  

nên ta có: +++=360°

Suy ra và +180°

Do đó AD // BC và AB // CD.

e)

Xét và có:

PA = PC; 

= (đối đỉnh); 

PB = PD

Do đó (c.g.c)

Suy ra = (hai góc tương ứng)

Hay = 

mà hai góc này ở vị trí so le trong 

AB // CD.

Tương tự ta cũng chứng minh được PAD = PCB (c.g.c)

Suy ra = (hai góc tương ứng)

Hay =

mà hai góc này ở vị trí so le trong 

AD // BC.

Thực hành 2 (Trang 76):

Trong các tứ giác ở Hình 9, tứ giác nào không là hình bình hành?

Trả lời rút gọn:

+ Hình 9a): Tứ giác ABCD có các cạnh đối bằng nhau nên là hình bình hành.

+ Hình 9b): Tứ giác EFGH có các góc đối bằng nhau nên là hình bình hành.

+ Hình 9c): Tứ giác IJKL có các cạnh đối song song nên là hình bình hành.

+ Hình 9d): Tứ giác MNPQ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

+ Hình 9e): Tứ giác RSTU có hai góc đối không bằng nhau nên không là hình bình hành.

+ Hình 9g): Tứ giác VXYZ có hai cạnh đối VZ và XY vừa song song vừa bằng nhau nên là hình bình hành.

Vậy trong các tứ giác ở Hình 9, tứ giác RSTU không là hình bình hành.

Vận dụng 3 (Trang 76): 

Quan sát Hình 10, cho biết ABCD và AKCH đều là hình bình hành. Chứng minh ba đoạn thẳng AC, BD và HK có cùng trung điểm O.

Trả lời rút gọn:

Xét hình bình hành ABCD có:

 hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

Xét hình bình hành AKCH có:

hai đường chéo AC và HK cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

Vậy ba đoạn thẳng AC, BD và HK có cùng trung điểm O.

2. HÌNH THOI

Hoạt động 4 (Trang 76)

Hình 11a là hình chụp tấm lưới thép được đan thành nhiều mắt. Hình 11b là hình vẽ phóng to của một mắt lưới. Đo độ dài các cạnh của tứ giác ABCD và rút ra nhận xét.

Trả lời rút gọn:

Dùng thước đo độ dài các cạnh AB, BC, CD, DA của tứ giác ABCD.

Nhận xét: AB = BC = CD = DA.

Hoạt động 5 (Trang 77):

a) Hình thoi có là hình bình hành không?

b) Cho hình thoi ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo (Hình 13b). Các tam giác OAB, OCB, OCD, OAD có bằng nhau không?

Trả lời rút gọn:

a) Hình thoi có 4 cạnh bằng nhau AB = BC = CD = DA

Suy ra các cạnh đối cũng bằng nhau: AB = CD và AD = BC.

Do đó hình thoi cũng là hình bình hành.

b) Theo câu a, hình thoi ABCD cũng là hình bình hành.

Khi đó hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Hay OA = OC và OB = OD.

Xét OAB và OAD có: OA là cạnh chung

OB = OD

AB = AD. Do đó OAB = OAD (c.c.c) (1)

CHỨNG MINH TƯƠNG TỰ ta cũng có OCB = OCD (c.c.c) (2)

Xét OAB và OCD có:

OA = OC

 = (đối đỉnh)

OB = OD. Do đó OAB = OCD (c.g.c) (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: OAB = OAD = OCD = OCB.

Thực hành 3 (Trang 78):

Cho hình thoi MNPQ có I là giao điểm của hai đường chéo.

a) Tính MP khi biết MN = 10 dm, IN = 6 dm.

b) Tính khi biết 128°.   

Trả lời rút gọn:

Do MNPQ là hình thoi. Mà tại I.

Áp dụng định lí Pythagore vào vuông tại I, ta có:

Suy ra  = = 8 (dm).

Do I là trung điểm của MP nên MP = 2MI = 2.8 = 16 (dm).

Vậy MP = 16 dm.

b)

Vì MNPQ là hình thoi nên MQ // NP

Do đó += 180°. Suy ra = 180°− =180° − 128° = 52°

Do MNPQ là hình thoi nên MP và tia phân giác của góc NMQ.

Suy ra .52° = 26°

Vậy  26°

Vận dụng 4 (Trang 78):

Tính độ dài cạnh của các khuy áo hình thoi có độ dài hai đường chéo lần lượt là 3,2 cm và 2,4 cm.

Trả lời rút gọn:

Hình ảnh chiếc khuy áo được vẽ lại bởi hình thoi ABCD như hình vẽ trên.

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Khi đó hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

Suy ra   và

Áp dụng định lí Pythagore vào vuông tại O, ta có:

Suy ra  (cm).

Vậy độ dài cạnh của khuy áo là 2 cm.

Hoạt động 6 (Trang 78):

Cho ABCD là một hình bình hành. Giải thích tại sao tứ giác ABCD có bốn cạnh bằng nhau trong mỗi trường hợp sau:

Trường hợp 1: AB = AD.

Trường hợp 2: AC vuông góc với BD.

Trường hợp 3: AC là đường phân giác góc BAD.

Trường hợp 4: BD là đường phân giác góc ABC.

Trả lời rút gọn:

+ Trường hợp 1: AB = AD.

Vì ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AB = CD.

Lại có AB = AD (gt) Do đó AB = AD = BC = CD.

+ Trường hợp 2: AC vuông góc với BD.

Vì ABCD là hình bình hành nên AD = BC, AB = CD và hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

Xét OAB và OCB có:  

OB là cạnh chung; OA = OC

Do đó OAB = OCB (hai cạnh góc vuông)

Suy ra AB = CB (hai cạnh tương ứng).

Mà AD = BC và AB = CD nên AB = CD = CB = DA.

+ Trường hợp 3: AC là đường phân giác góc BAD.

Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD

Do đó = (so le trong).

Mà = (do AC là tia phân giác của góc BAD)

Suy ra =

Xét tam giác ACD có:

 = 

Tam giác ACD cân tại D

Suy ra DA = DC.

Lại có AB = CD và AD = BC (cmt).

Do đó AB = BC = CD = DA.

+ Trường hợp 4: BD là đường phân giác góc ABC.

Chứng minh tương tự như trường hợp 3 ta cũng có AB = BC = CD = DA.

Vận dụng 5 (Trang 79):

Một hoa văn trang trí được ghép bởi ba hình tứ giác có độ dài mỗi cạnh đều bằng 2 cm (Hình 18). Gọi tên các tứ giác này và tính chu vi của hoa văn.

Trả lời rút gọn:

Tứ giác có độ dài mỗi cạnh đều bằng 2 cm nên tứ giác này là hình thoi.

Chu vi của một hình thoi là: 4.2 = 8 (cm).

Chu vi của hoa văn là: 3.8 = 24 (cm).

Vậy các tứ giác trong hoa văn là hình thoi và chu vi của hoa văn là 24 cm.

Vận dụng 6 (Trang 79):

Một tứ giác có chu vi là 52 cm và một đường chéo là 24 cm. Tìm độ dài của mỗi cạnh và đường chéo còn lại nếu biết hai đường chéo vuông góc tại trung điểm của mỗi đường.

Trả lời rút gọn:

Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc tại trung điểm của mỗi đường nên là hình thoi.

Độ dài cạnh của hình thoi ABCD là: 52: 4 = 13 (cm).

Giả sử đường chéo AC = 24 cm và O là giao điểm hai đường chéo.

Ta có O là trung điểm của AC nên OA = OC = 12 cm.

Áp dụng định lí Pythagore vào vuông tại O, ta có:

AB² = OA² + OB²

Suy ra  OB =  

Do O là trung điểm của BD nên (cm).

Vậy hình thoi có độ dài cạnh là 13 cm và độ dài đường chéo còn lại là 10 cm.

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài tập 1 (Trang 80):

Cần thêm một điều kiện gì để mỗi tứ giác trong Hình 19 trở thành hình bình hành?

Trả lời rút gọn:

a)

Ta có

mà hai góc này ở vị trí so le trong 

AB // CD.

Để tứ giác ABCD là hình bình hành thì có hai trường hợp sau:

+) Trường hợp 1: Tứ giác ABCD có hai cặp cạnh đối song song. Do đó cần thêm điều kiện AD // BC.

+) Trường hợp 2: Tứ giác ABCD có cặp cạnh đối vừa song song, vừa bằng nhau. Do đó cần thêm điều kiện AB = CD.

b)

Xét tứ giác EFGH có: EH = GF (gt)

Để tứ giác EFGH là hình bình hành thì có hai trường hợp sau:

+) Trường hợp 1: Tứ giác EFGH có hai cặp cạnh đối bằng nhau. Do đó cần thêm điều kiện EF = GH.

+) Trường hợp 2: Tứ giác EFGH có cặp cạnh đối vừa song song, vừa bằng nhau. Do đó cần thêm điều kiện EH // GF.

c)

Ta có OQ = ON O là trung điểm của NQ.

Để tứ giác MNPQ là hình bình hành thì tứ giác MNPQ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Do đó cần thêm điều kiện O là trung điểm của MP.

d) 

Xét tứ giác STUV có: = (cặp góc đối bằng nhau)

Để tứ giác STUV là hình bình hành thì tứ giác STUV có các cặp góc đối bằng nhau. Do đó cần thêm điều kiện =.

Bài tập 2 (Trang 80):

Cho hình bình hành ABCD, kẻ AH vuông góc với BD tại H và CK vuông góc với BD tại K (Hình 20).

a) Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành.

b) Gọi I là trung điểm của HK. Chứng minh IB = ID.

Trả lời rút gọn:

a) Do ABCD là hình bình hành nên AD // BC và AD = BC.

Do AD // BC nên (so le trong)

Xét ADH và CBK có:

==90°

AD = BC (cmt);

=(do =)

Do đó ADH = CBK (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra AH = CK (hai cạnh tương ứng).

Ta có và nên .

Tứ giác AHCK có và  

AHCK là hình bình hành (DHNB).

b) Do AHCK là hình bình hành (câu a) 

nên hai đường chéo AC và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà I là trung điểm của HK (gt) 

nên I là trung điểm của AC.

Do ABCD là hình bình hành

nên hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà I là trung điểm của AC

nên I là trung điểm của BD, hay IB = ID.

Bài tập 3 (Trang 80):

Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC.

a) Chứng minh rằng tứ giác EBFD là hình bình hành.

b) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng ba điểm E, O, F thẳng hàng.

Trả lời rút gọn: 

a) ABCD là hình bình hành

Mà E là trung điểm của AD nên AE = ED;

       F là trung điểm của BC nên BF = FC.

Suy ra DE = BF.

Xét tứ giác EBFD có:

 DE // BF (do AD // BC) 

DE = BF 

Nên EBFD là hình bình hành (DHNB).

b) Ta có: O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD 

O là trung điểm của BD.

Do EBFD là hình bình hành

hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của EF.

Vậy ba điểm E, O, F thẳng hàng.

Bài tập 4 (Trang 80):

Cho hình bình hành ABCD (AB > BC). Tia phân giác của góc D cắt AB tại E, tia phân giác của góc B cắt CD tại F.

a) Chứng minh DE // BF.

b) Tứ giác DEBF là hình gì?

Trả lời rút gọn:

a) Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD.

Vì DE là tia phân giác của góc D nên = =

Vì BF là tia phân giác của góc B nên  = =

Do đó  = 

Do AB // CD nên =  (so le trong).

Suy ra = 

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên DE // BF.

b) Tứ giác DEBF có:

nên DEBF là hình bình hành (DHNB).

Bài tập 5 (Trang 80):

Cho hình bình hành ABCD. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD; E và F lần lượt là giao điểm của AK và CI với BD.

a) Chứng minh tứ giác AEFI là hình thang.

b) Chứng minh DE = EF = FB.

Trả lời rút gọn:

a) Do ABCD là hình bình hành 

Vì I là trung điểm của AB nên

Vì K là trung điểm của CD nên

Do đó AI = CK.

Xét tứ giác AICK có:

AICK là hình bình hành (DHNB).

Suy ra AK // CI hay AE // IF.

Xét tứ giác AEFI có:

 AE // IF 

AEIF là hình thang.

b) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành ABCD.

Do đó O là trung điểm của AC và BD.

Xét ABC có:

 BO, CI là hai đường trung tuyến của tam giác 

Mà

F là trọng tâm của ABC.

Suy ra và

Chứng minh tương tự đối với ACD ta cũng có E là trọng tâm của DACD.

Suy ra và EO= DO

Lại có O là trung điểm BD nên BO = DO.

Do đó và

Mặt khác

Suy ra

Vậy

Bài tập 6 (Trang 81):

Quan sát Hình 21. Chứng minh rằng tứ giác EFGH là hình thoi.

Trả lời rút gọn:

Ta có AE = EB nên AB = 2AE.

         DG = GC nên DC = 2DG.

Mà AE = DG nên AB = DC.

Chứng minh tương tự ta cũng có: AD = BC.

Tứ giác ABCD có AB = DC và AD = BC nên là hình bình hành (DHNB).

Suy ra và .

Lại có nên ; ;

Xét AEH và BEF có:

=90°

AE = BE

AH = BF

Do đó AEH = BEF (hai cạnh góc vuông).

Suy ra HE = FE (hai cạnh tương ứng).

Chứng minh tương tự ta cũng có:

Do đó

Tứ giác EFGH có nên là hình thoi.

Bài tập 7 (Trang 81):

Cho hình thoi ABCD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Biết AC = 6 cm, BD = 8 cm. Tính độ dài cạnh của hình thoi ABCD.

Trả lời rút gọn:

Do ABCD là hình thoi 

hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

Do đó và

Áp dụng định lí Pythagore vào OAB vuông tại O, ta có:

Suy ra AB= ==5(cm)

Bài tập 8 (Trang 81):

Cho tam giác ABC cân tại A, gọi M là trung điểm của BC. Lấy điểm D đối xứng với điểm A qua BC.

a) Chứng minh tứ giác ABDC là hình thoi.

b) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và AC, lấy điểm O sao cho E là trung điểm của OM. Chứng minh hai tam giác AOB và MBO vuông và bằng nhau.

c) Chứng minh tứ giác AEMF là hình thoi.

Trả lời rút gọn:

a) Ta có D đối xứng với A qua BC nên M là trung điểm của AD và AD ⊥ BC.

Tứ giác ABDC có hai đường chéo AD và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

  ABDC là hình bình hành.

Lại có hai đường chéo

hình bình hành ABDC là hình thoi.

b) Ta có E là trung điểm của AB và OM nên hai đường chéo của tứ giác OAMB cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Do đó tứ giác OAMB là hình bình hành.

Suy ra và

Ta có và nên , do đó MBO vuông tại B.

Ta có và nên , do đó AOB vuông tại O.

Do OAMB là hình bình hành nên OA = BM và OB = AM.

Xét MBO vuông tại B và AOB vuông tại O có:

OB = AM; BM = OA

Do đó MBO = AOB (hai cạnh góc vuông).

c) Ta có (cmt) =>

Mà là trung điểm của và =>

Tương tự ta có

Ta có cân tại =>

Vậy Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

Bài tập 9 (Trang 81):

Tìm các hình bình hành và hình thang có trong Hình 22.

Trả lời rút gọn:

- Các hình bình hành là: ABCD, AQGF.

- Các hình thang là: AECD, AFMD, AFGP, AFMN, PDMG, QDMG, QNMG.