Slide bài giảng toán 8 chân trời bài 3: Hình thang – hình thang cân

Tóm lược nội dung

BÀI 3. HÌNH THANG - HÌNH THANG CÂN 

1. HÌNH THANG - HÌNH THANG CÂN

Hoạt động 1 (Trang 68):

Tứ giác ABCD (Hình 1b) là hình vẽ minh hoạ một phần của chiếc thang ở Hình la. Nêu nhận xét của em về hai cạnh AB và CD của tứ giác này.

Trả lời rút gọn:

Nhận xét: Hai cạnh AB và CD của tứ giác ABCD song song với nhau.

Thực hành 1 (Trang 69):

Tìm các góc chưa biết của hình thang MNPQ có hai đáy là MN và QP trong mỗi trường hợp sau và nêu nhận xét của em.

a)

b)

Trả lời rút gọn:

Xét hình thang MNPQ (MN // QP) có

MNPQ là hình thang vuông

Áp dụng định lí tổng các góc của một tứ giác, ta có: 

Do đó:

Vậy các góc chưa biết của hình thang MNPQ là:

b)

Xét hình thang MNPQ (MN // QP) có:

MNPQ là hình thang cân.

Suy ra

Vậy các góc chưa biết của hình thang MNPQ là:

Vận dụng 1 (Trang 69):

Một mặt tường của chân tháp cột cờ Hà Nội có dạng hình thang cân ABCD (Hình 4). Cho biết = 75° . Tìm số đo .

Trả lời rút gọn:

Hình thang cân ABCD có:

 nên  

Vận dụng 2 (Trang 69):

Tứ giác EFGH có các góc cho như trong Hình 5.

a) Chứng minh rằng EFGH là hình thang.

b) Tìm góc chưa biết của tứ giác.

Trả lời rút gọn:

a) Ta có (hai góc kề bù)

Suy ra

Do đó

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên HE // GF (DHNB)

Xét tứ giác EFGH có:

 HE // GF nên EFGH là hình thang (DHNB)

b) Xét hình thang EFGH có: 

(tổng các góc của một tứ giác).

Suy ra

Vậy góc chưa biết của tứ giác EFGH là .

2. TÍNH CHẤT CỦA HÌNH THANG CÂN

Hoạt động 2 (Trang 69):

a) Cho hình thang cân ABCD có hai đáy là AB và CD (AB > CD). Qua C vẽ đường thẳng song song với AD và cắt AB tại E (Hình 6a).

   i) Tam giác CEB là tam giác gì? Vì sao?

   ii) So sánh AD và BC.

b) Cho hình thang cân MNPQ có hai đáy là MN và PQ (Hỉnh 6b). So sánh MP và NQ. Giải thích.

Trả lời rút gọn:

a)

+) Xét hình thang cân ABCD (AB // DC) có

Vì CE // AD nên (đồng vị). Do đó

Xét có:

  nên là tam giác cân tại C.

+) Do cân tại C (cmt) nên CE = CB       (1)

Xét và có:

(do AD // CE); DE là cạnh chung;

(do DC // AB).

Do đó (g.c.g).

Suy ra (hai cạnh tương ứng)        (2)

Từ (1) và (2) ta có .

b) Vì MNPQ là hình thang cân

suy ra MQ = NP.

Xét hình thang cân MNPQ (MN // QP) có:

Xét và có:

MQ = NP (cmt); (cmt);

MN là cạnh chung.

Do đó (c.g.c)

Suy ra NQ = MP (hai cạnh tương ứng).

Thực hành 2 (Trang 70):

Tìm các đoạn thẳng bằng nhau trong hình thang cân MNPQ có hai đáy là MN và PQ.

Trả lời rút gọn:

Xét hình thang cân MNPQ (MN // PQ), theo tính chất hình thang cân, ta có:

+ MQ = NP (hình thang cân có hai cạnh bên bằng nhau)

+ MP = NQ (hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau).

Vậy các đoạn thẳng bằng nhau trong hình thang cân MNPQ là MQ = NP; MP = NQ.

Vận dụng 3 (Trang 70):

Một khung cửa sổ hình thang cân có chiều cao 3 m, hai đáy là 3 m và 1 m (Hình 9). Tìm độ dài hai cạnh bên và hai đường chéo.

Trả lời rút gọn:

Xét hình thang cân ABCD (AB // DC) có:

AD = BC

AC = BD (tính chất hình thang cân).

Kẻ BK ⊥ DC.

Ta có AB // DC và BK ⊥ DC

Suy ra BK ⊥ AB 

nên

Xét ∆AHK và ∆ABK có:

;

AK là cạnh chung;

(vì DC // AB).

Do đó ∆AHK = ∆ABK (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra HK = BK = 1m (hai cạnh tương ứng).

Xét ∆AHD và ∆BKC có:

;

AD = BC (cmt);

(cmt).

Do đó (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra (hai cạnh tương ứng).

Mà

Hay

Khi đó  

và HC = 2 m.

Áp dụng định lí Pythagore cho vuông tại H, ta có:

Do đó (m).

Áp dụng định lí Pythagore cho vuông tại H, ta có:

Do đó (m).

Vậy m, m.

3. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT HÌNH THANG CÂN

Hoạt động 3 (Trang 70):

Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB, CD và có hai đường chéo bằng nhau (Hình 10). Vẽ đường thẳng đi qua C, song song với BD và cắt AB tại E.

a) Tam giác CAE là tam giác gì? Vì sao?

b) So sánh tam giác ABD và tam giác BAC.

Trả lời rút gọn:

a) Xét hình thang ABCD có:

 AB // CD hay AE // DC nên (so le trong)

Do DB // CE nên (so le trong).

Xét và có:

(cmt);

CB là cạnh chung;

(cmt).

Do đó (g.c.g).

Suy ra BD = CE (hai cạnh tương ứng)

Mà AC = BD (gt)

Nên AC = CE.

Xét có:

AC = CE 

nên cân tại C.

b) Do cân tại C (câu a) nên (hai góc tương ứng).

Mặt khác DB // CE nên (đồng vị).

Do đó

Xét và có:

AB là cạnh chung;

(cmt);

BD = AC (gt).

Do đó (c.g.c).

Thực hành 3 (Trang 71):

Sử dụng thước đo góc và thước đo độ dài để tìm hình thang cân trong các tứ giác ở Hình 12.

Trả lời rút gọn:

Dùng thước đo góc và thước đo độ dài ta xác định được:

+) Hình 12a) có AB // DC nên tứ giác ABCD là hình thang, ta đo được nên hình thang ABCD là hình thang cân.

+) Hình 12b) có ST // VU nên tứ giác STUV là hình thang, ta đo được 

 nên hình thang STUV không phải là hình thang cân.

+) Hình 12c) có EH // FG nên tứ giác EFGH là hình thang, ta đo được EG = HF nên hình thang EFGH là hình thang cân.

+) Hình 12d) có:

 MN // QP (do có cặp góc so le trong bằng nhau nên tứ giác MNPQ là hình thang, ta đo được:

 nên hình thang MNPQ không phải là hình thang cân.

Vận dụng 4 (Trang 71):

Mặt cắt của một li giấy đựng bỏng ngô có dạng hình thang cân MNPQ (Hình 13) với hai đáy MN = 6 cm, PQ = 10 cm và độ dài hai đường chéo MP = NQ = cm. Tính độ dài đường cao và cạnh bên của hình thang.

Trả lời rút gọn:

+) MNPQ là hình thang cân nên: 

(tính chất hình thang cân)

+) Ta có: (cmt) và (gt)

Suy ra hay

Xét và có:

MK là cạnh huyền chung;

(do QP // MN).

Do đó (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra HK = NM = 6 cm (hai cạnh tương ứng).

+) Xét và có:

(cmt);

(cmt).

Do đó (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra (hai cạnh tương ứng).

Mà

Hay

Khi đó 

Nên

+) Áp dụng định lí Pythagore vào DMHP vuông tại H, ta có:

Suy ra

Do đó MH = 8 cm.

Áp dụng định lí Pythagore vào vuông tại H, ta có:

Suy ra (cm).

Vậy hình thang cân MNPQ có độ dài đường cao là ; độ dài cạnh bên là cm.

BÀI TẬP CUỐI SGK 

Bài tập 1 (Trang 71):

Tìm x và y ở các hình sau.

Trả lời rút gọn:

a) 

Ta có AB // DC nên tứ giác ABCD là hình thang

Do đó (2 góc trong cùng phía bù nhau)

Suy ra

b) 

Ta có MN // PQ nên tứ giác MNPQ là hình thang

Do đó

Suy ra

Hay

Do MN // PQ nên (hai góc so le trong)

Hay

c)

Ta có HG // IK nên tứ giác GHIK là hình thang.

Do đó

Hay 5x = 180° nên

d) 

Ta có và nên .

Do đó tứ giác STUV là hình thang

Suy ra

Nên hay , suy ra

Bài tập 2 (Trang 71):

Cho tứ giác ABCD có AB = AD, BD là tia phân giác của góc B. Chứng minh rằng ABCD là hình thang.

Trả lời rút gọn:

Xét tam giác ABD có:

AB = AD (gt)

Suy ra cân tại A (DHNB)

Suy ra (tính chất tam giác cân)

Vì BD là tia phân giác của góc B nên (tính chất tia phân giác của một góc)

Suy ra

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC.

Xét tứ giác ABCD có:

 AD // BC (cmt)

Suy ra ABCD là hình thang.

Bài tập 3 (Trang 72):

Cho tam giác nhọn ABC có AH là đường cao. Tia phân giác của góc B cắt AC tại M. Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với AH và cắt AB tại N. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác BCMN là hình thang;

b) BN = MN.

Trả lời rút gọn:

a) Ta có nên

Tứ giác BCMN có nên là hình thang.

b) Do (so le trong).

Mà (do BM là tia phân giác của )

Suy ra

Xét tam giác BMN có:

nên tam giác BMN cân tại N

Suy ra .

Bài tập 4 (Trang 72):

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Tia phân giác của góc B cắt AC tại D. Trên BC lấy điểm E sao cho BE = BA.

a) Chứng minh rằng DABD = DEBD.

b) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Chứng minh rằng tứ giác ADEH là hình thang vuông.

c) Gọi I là giao điểm của AH với BD, đường thẳng EI cắt AB tại F. Chứng minh rằng tứ giác ACEF là hình thang vuông.

Trả lời rút gọn:

a) Xét và có:

BA = BE (gt);

(do BD là tia phân giác của );

BD là cạnh chung,

Do đó (c.g.c).

b) Do (câu a) 

nên (hai góc tương ứng).

Do đó

Mà (gt) nên

Tứ giác ADEH có: nên là hình thang

mà  

nên ADEH là hình thang vuông.

c) Do (câu a) 

nên AD = ED (hai cạnh tương ứng)

Do đó D nằm trên đường trung trực của AE.

Lại có BA = BE (gt) nên B nằm trên đường trung trực của AE.

Suy ra BD là đường trung trực của đoạn thẳng AE 

nên  

hay

Xét có:

nên I là trực tâm của tam giác

Do đó hay

Mà (do ∆ABC vuông tại A)

Suy ra .

Tứ giác ACEF có:

nên ACEF là hình thang.

Lại có

nên ACEF là hình thang vuông.

Bài tập 5 (Trang 72):

Tứ giác nào trong Hình 15 là hình thang cân?

Trả lời rút gọn:

a) 

Ta thấy hai góc kề một đáy của tứ giác GHIK có số đo lần lượt là 51° và 129° không bằng nhau.

Do đó tứ giác GHIK không phải là hình thang cân.

b) 

Ta có: (hai góc kề bù) nên

Do đó

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên .

Tứ giác MNPQ có nên là hình thang.

Do nên (góc N so le trong với góc ngoài tại đỉnh M của hình thang)

Do đó

Hình thang MNPQ có hai góc kề một đáy bằng nhau nên là hình thang cân.

c) 

Ta có: (hai góc kề bù)

Suy ra

Do đó ,

 mà hai góc này ở vị trí so le trong nên DC // AB.

Tứ giác ABCD có DC // AB và AC = BD nên ABCD là hình thang cân.

Bài tập 6 (Trang 72):

Cho hình thang cân ABCD có AB // CD. Qua giao điểm E của AC và BD, ta vẽ đường thẳng song song với AB và cắt AD, BC lần lượt tại F và G (Hình 16). Chứng minh rằng EG là tia phân giác của góc CEB.

Trả lời rút gọn:

Do ABCD là hình thang cân nên

  (tính chất hình thang cân).

Xét và có:

AB là cạnh chung;

AD = BC (cmt);

BD = AC (cmt).

Do đó (c.c.c)

Suy ra (hai góc tương ứng)

Lại có (gt) (2 góc đồng vị)

Suy ra

Vậy EG là tia phân giác của .

Bài tập 7 (Trang 72):

Cho hình thang cân ABCD có AB // CD. Qua giao điểm E của AC và BD, ta vẽ đường thẳng song song với AB và cắt AD, BC lần lượt tại F và G (Hình 16). Chứng minh rằng EG là tia phân giác của góc CEB.

Trả lời rút gọn:

Trong tam giác vuông ADE có:

Dựng

Xét và có:

(do ABCD là hình thang cân)

(do ABCD là hình thang cân)

Do đó: (ch-gn)

Suy ra (hai cạnh tương ứng) 

Mà