Lời giải Bài 5 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 4 năm 2017 của trường THPT chuyên Sư Phạm Hà Nội

Lời giải  bài 5 :

Đề bài :

Cho ba số thực x, y, z. Tìm giá trị lớn nhất biểu thức  $S=\frac{xyz(x+y+z+\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}})}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})(xy+yz+zx)}$ .

Hướng dẫn giải chi tiết :

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki , ta có : $(x+y+z)^{2}\leq 3(x^{2}+y^{2}+z^{2})$

=>  $x+y+z\leq 3\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

=>  $S\leq \frac{xyz(\sqrt{3}.\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}+\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}})}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})(xy+yz+zx)}$

<=>  $S\leq \frac{xyz(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}(xy+yz+zx)}$

<=>  $S\leq \frac{xyz(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{3}\sqrt[6]{x^{2}y^{2}z^{2}}3\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}}=\frac{\sqrt{3}+1}{3\sqrt{3}}$

Vậy  $S_{max}=\frac{\sqrt{3}+1}{3\sqrt{3}}$  khi x = y = z .