Lời giải  bài 3 :

Đề bài :

a. Trong hệ tọa độ Oxy, tìm m để đường thẳng (d): y= mx – m +2 cắt Parabol (P) : $y=2x^{2}$  tại hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung.  

b.  Giải hệ phương trình:   $\left\{\begin{matrix}3\sqrt{x+2y}=4-x-2y & \\ \sqrt[3]{2x+6}+\sqrt{2y}=2 & \end{matrix}\right.$ .

Hướng dẫn giải chi tiết :

a.  Hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và Parabol (P) là nghiệm của phương trình: 

                                           $2x^{2}=mx-m+2<=> 2x^{2}-mx+m-2=0$             (*)

Ta có : $\Delta =m^{2}-4.2(m-2)=m^{2}-8m+16=(m-4)^{2}\geq 0$

Để đường thẳng (d): y= mx – m +2 cắt Parabol (P) : $y=2x^{2}$  tại hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung thì :

<=>  $\left\{\begin{matrix}\Delta > 0 &  & \\ x_{1}+x_{2}>0 &  & \\ x_{1}.x_{2}>0 &  & \end{matrix}\right.$

<=>  $\left\{\begin{matrix}(m-4)^{2} > 0 &  & \\ \frac{m}{2}>0 &  & \\ \frac{m-2}{2}>0 &  & \end{matrix}\right.$

<=>  $\left\{\begin{matrix}m\neq 4 &  & \\ m>0 &  & \\ m>2 &  & \end{matrix}\right.$

<=>  $\left\{\begin{matrix}m>2 & \\  m\neq 4& \end{matrix}\right.$

Vậy để đường thẳng (d): y= mx – m +2 cắt Parabol (P) : $y=2x^{2}$  tại hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung thì m > 2 và $m\neq 4$ .

b.      $\left\{\begin{matrix}3\sqrt{x+2y}=4-x-2y      (1) & \\ \sqrt[3]{2x+6}+\sqrt{2y}=2       (2) & \end{matrix}\right.$ .

Đk  :  $\left\{\begin{matrix}x+2y\geq 0 & \\ 2y\geq 0 & \end{matrix}\right.$

Đặt   $\sqrt{x+2y}=t  (t\geq 0)$

(1)  <=>  $3t=4-t^{2}<=> t^{2}+3t-4=0$  (*)

Nhận xét : phương trình (*) có dạng : a + b+ c = 0 =>  (*) có hai nghiệm : $t_{1}=1;t_{2}=-4$

+  Với t = - 4  =>  ( loại vì t < 0 )

+  Với t  = 1  <=>   $\sqrt{x+2y}=1<=> x+2y=1=> x=1-2y$

Thay giá trị ( x ) vào (2) , ta được :  $\sqrt[3]{2(1-2y)+6}+\sqrt{2y}=2 <=>\sqrt[3]{-4y+8}+\sqrt{2y}=2 $

<=>   $\sqrt[3]{-4y+8}=2-\sqrt{2y}<=> -4y+8=8-12\sqrt{2y}+12y-2y\sqrt{2y} $

<=>   $16-12\sqrt{2y}-2y\sqrt{2y}=0<=>8y-6\sqrt{2y}-y\sqrt{2y}=0 $

<=>   $\sqrt{y}(-\sqrt{2}y+8\sqrt{y}-6\sqrt{2})=0<=> -\sqrt{y}(\sqrt{y}-\sqrt{2})(\sqrt{2}\sqrt{y}-6)=0$

+  TH 1 : $\sqrt{y}=0 => y=0=> x=1 $                                                                      ( t/mãn ) 

+  TH 2 : $\sqrt{y}= \sqrt{2}=> y=2=> x=- 3 $                                                             ( t/mãn )

+  TH 3 : $\sqrt{y}= \frac{6}{\sqrt{2}}=> y==\frac{36}{2}=18 => x=-35 $                                     ( t/mãn )

Vậy hệ  phương trình có 3 cặp nghiệm ( x ; y ) = { ( 1 ; 0 ) , ( - 3 ; 2 ) , ( - 35 ; 18 ) } .