Lời giải Bài 4 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 4 năm 2017 của trường THPT chuyên Sư Phạm Hà Nội

Lời giải  bài 4 :

Đề bài :

Cho đường tròn O đường kính BC và một điểm A nằm bất kì trên đường tròn ( A khác B và C ). Gọi AH là đường cao của DABC, đường tròn tâm I đường kính AH cắt các dây cung AB, AC tương ứng tại D, E.

a. Chứng minh rằng : góc $\widehat{DHE}=90^{\circ}$  và AB. AD = AC . AE .

b. Các tiếp tuyến của đường tròn (I) tại D và E cắt BC tương ứng tại G và F. Tính số đo góc GIF .

c. Xác định vị trí điểm A trên đường tròn (O) để tứ giác DEFG có diện tích lớn nhất  .

Hướng dẫn giải chi tiết :

a.  Tứ giác ADHE có : $\widehat{A}=\widehat{D}=\widehat{E}$

=>  ADHE là hình chữ nhật .

=>  $\widehat{DHE}=90^{\circ}$      ( đpcm ) .

Xét  hai tam giác vuông HAB và HAC ta có : $AB.AD=AH^{2}$   ( hệ thức lượng trong tam giác vuông )

Mà  :  $AH^{2}=AC.AE$

=>  AB. AD = AC . AE .    ( đpcm )

b.  Vì $\widehat{DHE}=90^{\circ}$  => DE là đường kính =>  $I\in DE$ .

=>   $\widehat{GIF}=\frac{1}{2}\widehat{DIH}+\frac{1}{2}\widehat{HIE}=\frac{1}{2}\widehat{DIE}$

Mà  :  $\widehat{DIE}=180^{\circ}$   ( nhìn hình vẽ ) .

=>  $\widehat{GIF}=90^{\circ}$ .

Vậy  $\widehat{GIF}=90^{\circ}$ .

c.  Tứ giác DEFG là hình thang vuông có đường cao DE = AH

Hai đáy DG = GH = GB = $\frac{1}{2}BH$  và EF = FC = FH = $\frac{1}{2}HC$ 

=>  Diện tích hình tứ giác DEFG là : $S_{DEFG}=\frac{\frac{1}{2}(HB+HC).AH}{2}=\frac{BC.AH}{4}$

Để $S_{DEFG}$ đạt giá trị lớn nhất khi AH lớn nhất   ( Vì BC = 2R - không đổi ) .

Khi đó  AH sẽ phải là đường kính => A là trung điểm của cung AB .

Vậy A là trung điểm của cung AB trên đường tròn (O) thì  tứ giác DEFG có diện tích lớn nhất  .