Lời giải Bài 4 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 4 năm 2017 của Trường chuyên Lam Sơn Thanh Hóa

Lời giải  bài 4 :

Đề bài :

Cho tứ giác ANPQ nội tiếp (O) đường kính AQ .Hai đường chéo AP và NQ cắt nhau tại E . Gọi F là điểm thuộc AQ sao cho EF vuông góc  với AQ .Đường thẳng PF cắt (O) tại điểm thứ hai là K .NQ và PF cắt nhau tại L .Chứng minh rằng :

a.  Tứ giác PEFQ nội tiếp .

b.  FM là tia phân giác của góc NFM.

c.  NE.QL = QN.EL  .

Hướng dẫn giải chi tiết :

a.    Ta có :  

$\widehat{MPQ}=90^{\circ}$       ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )

$EF\perp MQ=> \widehat{EPQ}+\widehat{EFQ}=90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}$

=>  Tứ giác PEFQ nội tiếp        ( đpcm ) .

b.  Ta có :  $ \widehat{ENM}+\widehat{EFM}=90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}$

=>  Tứ giác MNEF nội tiếp .

=>  $ \widehat{PFQ}=\widehat{PEQ}$         ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung PQ trong đường tròn đường kính EQ )

       $ \widehat{NFM}=\widehat{NEM}$        ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung MN trong đường tròn đường kính ME )

       $ \widehat{NEM}=\widehat{PEQ}$         ( 2 góc đối dỉnh )

       $ \widehat{PFQ}=\widehat{MFK}$          ( 2 góc đối đỉnh ) 

=>  $ \widehat{NFM}=\widehat{KFM}$   hay PM là tia phân giác của góc NFM .

Vậy PM là tia phân giác của góc NFM .    ( đpcm )

c.   Ta có : 

$ \widehat{NPM}=\widehat{NQM}$       ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung MN trong đường tròn đường kính MQ )

$ \widehat{EPF}=\widehat{EQF}$          ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung EF trong đường tròn đường kính EQ )

=>  $ \widehat{NPE}=\widehat{EPL}$

=>  PE là phân giác trong của $\triangle NPL$ .                                          (1)

Mà : $PE\perp PQ$ =>  PE là phân giác ngoài của $\triangle NPL$ .       (2)

Từ (1) , (2)   =>  $\frac{EN}{EL}=\frac{QN}{QL}=> EN.QL=QN.EL$   ( đpcm ) .