Lời giải Bài 2 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 4 năm 2017 của trường THPT chuyên Sư Phạm Hà Nội

Lời giải  bài 2 :

Đề bài :

Cho hệ phương trình:  $\left\{\begin{matrix}(m-1)x+y=2 & \\ mx+y=m+1 & \end{matrix}\right.$    (m là tham số)

a. Giải hệ phương trình khi m = 2.

b. Chứng minh rằng với mọi m, hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn : 2x + y ≤ 3 .

Hướng dẫn giải chi tiết :

a.  Khi m = 2 , thay vào hệ trên ta được : $\left\{\begin{matrix}x+y=2 & \\ 2x+y=3 & \end{matrix}\right.$

<=>    $\left\{\begin{matrix}x=1& \\ x+y=2 & \end{matrix}\right.$

<=>    $\left\{\begin{matrix}x=1& \\ y=1 & \end{matrix}\right.$

Vậy  khi m = 2 thì hệ trên có nghiệm ( x ; y ) = ( 1 ; 1 ) .

b.     $\left\{\begin{matrix}(m-1)x+y=2 & \\ mx+y=m+1 & \end{matrix}\right.$

<=>  $\left\{\begin{matrix}y=2-(m-1)x & \\ mx+2-(m-1)x=m+1 & \end{matrix}\right.$

<=>  $\left\{\begin{matrix}y=2-(m-1)x & \\ mx+2-mx+x=m+1 & \end{matrix}\right.$

<=>  $\left\{\begin{matrix}y=2-(m-1)x & \\ x=m-1 & \end{matrix}\right.$

<=>   $\left\{\begin{matrix}y=2-(m-1)(m-1) & \\ x=m-1 & \end{matrix}\right.$

<=>   $\left\{\begin{matrix}y=-m^{2}+2m+1 & \\ x=m-1 & \end{matrix}\right.$

Vậy với mọi m , hệ phương trình luôn có nghiệm ( x ; y ) = ( m - 1 ; $-m^{2}+2m+1$ ) .

Ta có : 2x + y ≤ 3  <=> $2( m - 1 ) + (-m^{2}+2m+1)\leq 3$    (*)

Mà :  $2( m - 1 ) + (-m^{2}+2m+1)=-m^{2}+4m-4=-(m-2)^{2}\leq 0$

=>  (*) luôn đúng  =>   2x + y ≤ 3 .

Vậy với mọi m, hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn : 2x + y ≤ 3 .   ( đpcm )