Giải toán 8 tập 1 trang 58 sgk: câu 53 Biến đổi mỗi biểu thức sau thành một phân thức đại số

a) Ta có \(1 + {1 \over x} = {x \over x} + {1 \over x} = {{x + 1} \over x}\) (1)

Thay phân thức (1) vào \(1 + {1 \over {1 + {1 \over x}}}\)  ta được:

 \(1 + {1 \over {1 + {1 \over x}}} = 1 + {1 \over {{{x + 1} \over x}}} = 1 + {x \over {x + 1}} = {{x + 1 + x} \over {1 + x}} = {{2x + 1} \over {x + 1}}\) (2)

Thay phân thức (2) vào \(1 + {1 \over {1 + {1 \over {1 + {1 \over x}}}}}\)  ta được:

\(1 + {1 \over {1 + {1 \over {1 + {1 \over x}}}}} = 1 + {1 \over {{{2x + 1} \over {x + 1}}}} = 1 + {{x + 1} \over {2x + 1}} = {{2x + 1 + x + 1} \over {2x + 1}} = {{3x + 2} \over {2x + 1}}\) 

b) Dự đoán

Qua các kết quả của các bài ở câu a ta thấy kết quả tiếp theo sau là một phân thức mà tử bằng tổng của tử và mẫu, còn mẫu là tử của kết quả vế trước đó.

Như vậy có thể dự đoán rằng nếu biểu thức có 4 gạch phân số thì kết quả là \({{5x + 3} \over {3x + 2}}\), và trong trường hợp này có 5 gạch phân số, kết quả sẽ là \({{8x + 5} \over {5x + 3}}\) .

Kiểm tra:

 \(1 + {1 \over {1 + {1 \over {1 + {1 \over {1 + {1 \over {1 + {1 \over x}}}}}}}}}\)

 \(= 1 + {1 \over {{{3x + 2} \over {2x + 1}}}} = 1 + {{2x + 1} \over {3x + 2}}\)

 \(= {{3x + 2 + 2x + 1} \over {3x + 2}} = {{5x + 3} \over {3x + 2}}\)

Do đó \(1 + {1 \over {1 + {1 \over {1 + {1 \over {1 + {1 \over {1 + {1 \over x}}}}}}}}}\)

 \(= 1 + {1 \over {{{5x + 3} \over {3x + 2}}}}\)

\(=1 + {{3x + 2} \over {5x + 3}}\)

 \(= {{5x + 3 + 3x + 2} \over {5x + 3}}\)

 \(= {{8x + 5} \over {5x + 3}}\)