Bài tập về tính toán các lũy thừa

7.

a) A = $\frac{2^{30}.5^{7}+2^{13}.5^{27}}{2^{27}.5^{7}+2^{10}.5^{27}}$

     = $\frac{2^{13}.5^{7}.(2^{17}+5^{20})}{2^{10}.5^{7}.(2^{17}+5^{20})}=2^{3}=8$

b) B = $\left ( 1-\frac{3}{5}-\frac{1}{15}  \right ).\left ( \frac{4}{5}-\frac{5}{3} \right )^{2}$

     = $\frac{1}{3}.\frac{169}{225}$

     = $\frac{169}{675}$

c) C = $\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+...+\frac{1}{2^{100}}$

  2C = $1 + \frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+...+\frac{1}{2^{99}}$

Suy ra 2C - C = $\left (1 + \frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+...+\frac{1}{2^{99}}  \right )$ - $\left ( \frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+...+\frac{1}{2^{100}} \right ) $

        Hay C = $1 - \frac{1}{2^{100}}$

8.

a) Ta cần chỉ ra $10^{2000}+125$ chia hết cho 5 và 9.

Ta có: $10^{2000}+125$ = $\overline{100...0125}$ (có 2005 số 0)

$10^{2000}+125$ có tận cùng là 5 nên $10^{2000}+125$ $\vdots $ 5

Tổng các chữ số của $10^{2000}+125$ là: 1 + 1 + 2 + 5 = 9 nên $10^{2000}+125$ $\vdots $ 9

Mà ƯCLN(5; 9)=1 nên $10^{2000}+125$ $\vdots $ 5.9 Hay $10^{2000}+125$ $\vdots $ 45

b) B = $5^{2008}+5^{2007}+5^{2006}$ 

     = $5^{2006}.(1+5+5^{2})$

     = $5^{2006}.31$

Do đó B = $5^{2008}+5^{2007}+5^{2006}$ $\vdots $ 31

9. Gọi số chính phương cần tìm là $n^{2}$

Vì số chính phương không có tận cùng là 3 và 8 nên $n^{2}$ có tận cùng là 6.

Vì có tận cùng là số chẵn nên $n^{2}$ chia hết cho 4.

Nên hai số tận cùng của $n^{2}$ là 36.

Vậy số cần tìm là 8836