Bài tập về so sánh hai lũy thừa

5. a) $\frac{1}{2^{300}}$ và $\frac{1}{3^{200}}$

Ta có: $2^{300}=2^{3.100}=8^{100} ; 3^{200}=3^{2.100}=9^{100}$

Dễ thấy $9^{100} > 8^{100} > 0$ nên $3^{200}>2^{300}>0$

Do đó: $\frac{1}{2^{300}}$ > $\frac{1}{3^{200}}$

b) $\frac{1}{5^{199}}$ và $\frac{1}{3^{300}}$

Ta có: $5^{200}=5^{2.100}=25^{100} ; 3^{300}=3^{3.100}=27^{100}$

Dễ thấy $27^{100} > 25^{100} > 0$ nên $3^{300}>5^{200}>0$

Do đó: $\frac{1}{5^{200}}$ > $\frac{1}{3^{300}}$

Mà $\frac{1}{5^{199}} > \frac{1}{5^{200}}$ nên $\frac{1}{5^{199}}$ > $\frac{1}{3^{300}}$

c) $\left ( \frac{-1}{4} \right )^{8}$ và $\left ( \frac{1}{8} \right )^{5}$

Ta có: $\left ( \frac{-1}{4} \right )^{8}=\left [ \left ( \frac{1}{2} \right )^{2} \right ]^{8}=\left ( \frac{1}{2} \right )^{16}$

           $\left ( \frac{1}{8} \right )^{5}=\left [ \left ( \frac{1}{2} \right )^{3} \right ]^{5}=\left ( \frac{1}{2} \right )^{15}$

Có $0<\frac{1}{2}<1$ nên $\left ( \frac{1}{2} \right )^{16}$ < $\left ( \frac{1}{2} \right )^{15}$

Hay $\left ( \frac{-1}{4} \right )^{8}$ < $\left ( \frac{1}{8} \right )^{5}$

d) $\left ( \frac{1}{10} \right )^{15}$ và $\left ( \frac{3}{10} \right )^{20}$

Ta có: $\left ( \frac{1}{10} \right )^{15}$ = $10^{5}.\left ( \frac{1}{10} \right )^{20}$

           $\left ( \frac{3}{10} \right )^{20}$ = $3^{20}.\left ( \frac{1}{10} \right )^{20}$

Mà $10^{5}<3^{20}$ nên $10^{5}.\left ( \frac{1}{10} \right )^{20}$ < $3^{20}.\left ( \frac{1}{10} \right )^{20}$

Hay $\left ( \frac{1}{10} \right )^{15}$ < $\left ( \frac{3}{10} \right )^{20}$

6. A = $\frac{100^{100}+1}{100^{99}+1}=\frac{(100^{100}+1).(100^{68}+1)}{(100^{99}+1).(100^{68}+1)}$ và B = $\frac{(100^{69}+1).(100^{99}+1)}{(100^{68}+1).(100^{99}+1)}$

Ta so sánh tử số của A và B sau khi quy đồng

Xét hiệu: $(100^{100}+1).(100^{68}+1)-(100^{69}+1).(100^{99}+1)$

= $100^{168}+100^{100}+100^{68}+1-100^{168}-100^{99}-100^{69}-1$

= $100^{100}-100^{99}-100^{69}+100^{68}$

= $99.100^{99}-99.100^{68}$

= $99.(100^{99}-100^{68})$ > 0

Do đó A > B