A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Xác định bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do của đa thức

Để tìm bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do của đa thức trước hết cần thu gọn đa thức rồi sắp xếp các hạng tử của đa thức theo lũy thừa giảm dần (hoặc tăng dần) của biến.

Ví dụ 1: Cho đa thức một biến

P(x) = $3x^{3}-5x^{2}+6x-3x^{4}-14x^{3}-8+2x^{4}$

a) Cho biết bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do của đa thức P(x)

b) Tính giá trị của đa thức P(x) tại x = -1.

Hướng dẫn:

Ta thu gọn và sắp xếp P(x) theo lũy thừa giảm của x.

P(x) = $3x^{3}-5x^{2}+6x-3x^{4}-14x^{3}-8+2x^{4}$

       = $(-3x^{4}+2x^{4})+(3x^{3}-14x^{3}) - 5x^{2}+6x-8$

       = $-x^{4}-11x^{3}-5x^{2}+6x-8$

a) Bậc của P(x) là 4. Hệ số cao nhất là -1, hệ số tự do là -8.

b) Giá trị của P(x) tại x = -1 là:

P(-1) = $-(-1)^{4}-11(-1)^{3}-5(-1)^{2}+6(-1)-8$

         = -1 + 11 - 5 - 6 - 8

         = -9

2. Cộng trừ đa thức một biến

Để cộng hoặc trừ hai đa thức một biến, ta có thể thực hiện theo một trong hai cách:

- Cách 1: Thực hiện theo cách cộng, trừ đa thức đã học.

- Cách 2: Sắp xếp các hạng tử của hai đa thức cùng theo lũy thừa giảm (hoặc tăng) của biến rồi đặt phép tính theo cột dọc tương tự như cộng, trừ các số (chú ý các đơn thức đồng dạng ở cùng một cột).

Ví dụ 2: Cho hai đa thức một biến:

P(x) = $3x^{4}-6x^{2}-2x^{3}+2-4x+7x^{2}+8x^{3}-4$

Q(x) = $\sqrt{2}x^{4}+3\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}x^{3}-\sqrt{2}x^{4}+\frac{7}{2}x^{3}+2x-\frac{1}{2}x^{2}+7$

a) Thu gọn các đa thức trên.

b) Tính P(x) + Q(x) và P(x) - Q(x) theo hai cách.

Hướng dẫn:

P(x) = $3x^{4}-6x^{2}-2x^{3}+2-4x+7x^{2}+8x^{3}-4$

        = $3x^{4}+6x^{3}+x^{2}-4x-2$

Q(x) = $\sqrt{2}x^{4}+3\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}x^{3}-\sqrt{2}x^{4}+\frac{7}{2}x^{3}+2x-\frac{1}{2}x^{2}+7$

        = $3x^{3}+3x^{2}+2x+7$

b) Ta có:

P(x) + Q(x) = $(3x^{4}+6x^{3}+x^{2}-4x-2) +(3x^{3}+3x^{2}+2x+7)$

                  = $3x^{4} + 9x^{3}+4x^{2}-2x+5$

P(x) - Q(x) = $(3x^{4}+6x^{3}+x^{2}-4x-2) - (3x^{3}+3x^{2}+2x+7)$

                  = $3x^{4}+6x^{3}+x^{2}-4x-2 -3x^{3}-3x^{2}-2x-7$

                  = $3x^{4}+3x^{3}-2x^{2}-6x-9$