Bài tập về xác định bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do của đa thức
1. Cho đa thức một biến :
Q(x) = $ax^{4}+2x^{3}-bx^{3}+3x^{2}-x+c-x^{2}+4$
Tìm a, b, c biết rằng đa thức Q(x) có bậc ba, hệ số cao nhất là -4 và hệ số tự do là 7.
2. Cho đa thức A(x) = $ax^{4}-3x^{3}-2ax^{2}+x+1$ (a là hằng số). Hãy tìm a thích hợp để cho A(x) có giá trị là 4 tại x = 1.
3. Cho đa thức P(x) = $ax^{2}+bx+c$ luôn bằng 0 với giá trị bất kì của x. Chứng minh rằng a = b = c = 0.
4. Tính tổng các hệ số của các hạng tử của đa thức nhận được sau khi đã khai triển và viết đa thức P(x) dưới dạng thu gọn, biết P(x) = $(10x^{2}-10x)^{2010}$
1. Ta thu gọn Q(x)
Q(x) = $ax^{4}+2x^{3}-bx^{3}+3x^{2}-x+c-x^{2}+4$
= $ax^{4}+(2-b)x^{3}+2x^{2}-x+c+4$
Q(x) có bậc 3 nên a = 0
Hệ số cao nhất là -4 nên 2 - b = -4 $\Leftrightarrow $ b = 6
Hệ số tự do là 7 nên c + 4 = 7 $\Leftrightarrow $ c = 3
Vậy a = 0; b = 6; c = 3
2. A(x) = $ax^{4}-3x^{3}-2ax^{2}+x+1$ (a là hằng số)
$\Rightarrow A(1)=a.1^{4}-3.1^{3}-2a.1^{2}+1+1$
$\Leftrightarrow A(1)=-a-1$
Mà A(1) = 4 $\Rightarrow $-a - 1 = 4 $\Leftrightarrow $ a = -5
Vậy a = -5
3. P(x) = $ax^{2}+bx+c$ luôn bằng 0 với giá trị bất kì của x.
Chọn x = 0 thì ta được P(0) = c = 0
Chọn x = 1 thì ta được P(1) = a + b = 0 (1)
Chọn x = -1 thì ta được P(-1) = a - b = 0 (2)
Từ (1) và (2) suy ra a = b = 0.
Vậy a = b = c = 0.
4. Ta có: P(x) = $(10x^{2}-10x)^{2010}=(10x)^{2010}.(x-1)^{2010}$
Tổng các hệ số của đa thức nhận được sau khi khai triển chính là:
P(1)= $(10.1)^{2010}.(1-1)^{2010}$ = 0
Bình luận