A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

- Điểm M nằm ở ngoài đường thẳng d. Lấy hai điểm phân biệt N và P thuộc đường thẳng d. Từ M hạ MH $\perp $ d. Ta có:

• MN, MP gọi là đường xiên
• MH gọi là đường vuông góc
• HN gọi là hình chiếu của MP trên đường thẳng d.

Cả hai đường xiên MN và MP đều lớn hơn MH còn hình chiếu của hai đường xiên đó trên đường thẳng d là khác nhau. Ta dễ dàng thấy MN và MP đều lớn hơn MH (cạnh đối diện với góc vuông).

- Chú ý:

• Khi nói hình chiếu của một đường xiên phải chỉ rõ những hình chiếu trên đường thẳng nào? Vì cùng một đường xiên nhưng hình chiếu của nó trên đường thẳng khác nhau sẽ khác nhau.
• Quan hệ hai đường xiên và hình chiếu chỉ xét được khi chúng cùng xuất phát từ một điểm ngoài đường thẳng. Cới hai đường xiên AB và CD trong hình thì không thể kết luận trực tiếp được.

• Với mỗi đường xiên cho trước thì đường vuông góc và hình chiếu có thể đổi vai trò cho nhau. Chẳng hạn $d_{1}\perp d_{2}$ tại O, M trên $d_{1}$ và N trên $d_{2}$ (hình dưới), ta có: MN là đường xiên nếu gọi OM là đường vuông góc thì ON là hình chiếu của MN trên $d_{2}$. Nếu gọi NO là đường vuông góc thì OM là hình chiếu của MN trên $d_{1}$

- Cách so sánh hai đoạn thẳng: Muốn chứng minh đoạn thẳng này lớn hơn (hay nhỏ hơn) đoạn thẳng kia ta có thể chứng minh theo các cách sau:

• Cách 1: Xét mối quan hệ giữa hình chiếu và đường xiên.
• Cách 2: Dùng đoạn thẳng thứ hai làm trung gian.
• Cách 3: Sử dụng góc trong tam giác. Từ so sánh góc suy ra quan hệ cạnh đối diện, dẫn đến việc so sánh cạnh.

- Cách tìm hình chiếu của một đoạn thẳng cho trước trên một đường thẳng cho trước (ở đây chỉ xét phép chiếu vuông góc). Ta tìm hình chiếu của hai điểm đầu của đoạn thẳng trên đường thẳng cho trước.

Cho đoạn MN nằm ngoài đường thẳng d, tìm hình chiếu của MN trên d.

Ta tìm hình chiếu của M trên d bằng cách hạ MH $\perp $ d. H là hình chiếu của M trên d. Tiếp tục tìm hình chiếu của N trên d bằng cách hạ AK $\perp $ d, K là hình chiếu của N trên d. Vậy HK là hình chiếu của MN trên d.

Ví dụ 1: Cho $\Delta $ABC có AB > AC. Từ A hạ AH $\perp $ BC, trên đường thẳng AH lấy điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:

a) MB > MC

b) BA > BM

Hướng dẫn:

a) Do AB > AC (theo giả thiết), suy ra BH > HC (đường xiên lớn hơn thì hình chiếu lớn hơn).

Xét hai đường xiên MB và MC có: BH > HC 

Vậy MB > MC (hình chiếu lớn hơn thì đường xiên lớn hơn)

b) Ta có BH là đường vuông góc với đường thẳng AH (theo giả thiết) thì AH mà MH là hình chiếu của BA và BM trên đường thẳng AH.

Lại theo giả thiết điểm M nằm giữa hai điểm A và H nên MH < AH

Suy ra BM < BA (hình chiếu lớn hơn thì đường xiên lớn hơn)

Vậy BA > BM