A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

- Phần này chủ yếu là biết tính số đo các góc của tam giác. Từ tính toán đó suy ra so sánh hai hay nhiều góc bằng nhau hoặc lớn hơn, nhỏ hơn.

- Chú ý:

• Trong một tam giác thường biết hai góc thì tính được góc thứ ba.
• Trong một tam giác vuông biết được một góc nhọn thì biết được góc nhọn kia.

- Yêu cầu vận dụng các định lí về góc trong tam giác: tính chất đường phân giác của góc, tính chất đường song song, vuông góc, tính chất hai góc kề bù, hai góc đối đỉnh, hai góc phụ nhau vào việc tính toán các góc theo đề bài.

Ví dụ 1: Cho $\Delta $ABC có góc $\widehat{A}=a^{\circ}(0^{\circ} < a^{\circ} < 90^{\circ}$), các đường phân giác BD và CN cắt nhau tại O. Tia phân giác góc ngoài tại đỉnh B cắt tia CN tại E. Tia phân giác góc ngoài tại đỉnh C cắt tia BD tại F.

a) Tính số đo của góc $\widehat{BOC}$

b) Chứng minh $\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=\frac{a^{\circ}}{2}$

c) Tia EB và tia FC cắt nhau tại K. Chứng minh rằng $\widehat{BOC}$ và $\widehat{K}$ là hai góc bù nhau.

Hướng dẫn:

a) $\Delta $ABC có BD và CN là hai tia phân giác nên:

$\widehat{B_{1}}=\frac{1}{2}\widehat{B}; \widehat{C_{1}}=\frac{1}{2}\widehat{C}\Rightarrow \widehat{B_{1}}+\widehat{C_{1}}=\frac{1}{2}(\widehat{B}+\widehat{C})$ (1)

$\Delta $OBC có: $\widehat{BOC}=180^{\circ} - (\widehat{B}+\widehat{C})$ (2)

Mà $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}\Rightarrow a^{\circ}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}\Rightarrow \widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}-a^{\circ}$ (3)

Thay (1) vào (2) ta có: $\widehat{BOC}=180^{\circ}-\frac{1}{2}(\widehat{B}+\widehat{C})$ (4)

Thay (3) vào (4) ta có: $\widehat{BOC}=180^{\circ}\frac{1}{2}(180^{\circ}-a^{\circ})=90^{\circ}+\frac{a^{\circ}}{2}$ (5)

b) Xét $\Delta $BEO và $\Delta $COF, có: BE $\perp $ BO và CF $\perp $ CO (2 đường phân giác của hai góc kề bù nhau)

Vậy $\Delta $BEO và $\Delta $COF là hai tam giác vuông tại B và C có $\widehat{O_{1}}=\widehat{O_{2}}$ (hai góc đối đỉnh)

Mà $\widehat{O_{1}}+\widehat{E}=90^{\circ}$

   $\widehat{O_{2}}+\widehat{F}=90^{\circ}$

Suy ra $\widehat{E}=\widehat{F}$

Mà $\widehat{BOC}=\widehat{E}+\widehat{EBO}$ (6) (tính chất góc ngoài của tam giác)

Thay (5) vào (6) ta được: $90^{\circ}+\frac{a^{\circ}}{2}=\widehat{E}+90^{\circ}\Rightarrow \widehat{E}=\frac{a^{\circ}}{2}$

Vậy $\widehat{E}=\widehat{F}=\frac{a^{\circ}}{2}$

c) $\Delta $BFK có $\widehat{B}=90^{\circ}$ (BE $\perp $ BO - theo chứng minh câu b)

Vậy $\widehat{K}+\widehat{F}=90^{\circ}\Rightarrow \widehat{K}+\frac{a^{\circ}}{2}=90^{\circ}\Rightarrow \widehat{K}=90^{\circ}-\frac{a^{\circ}}{2}$ (7)

Từ (5) và (7) ta có:

$\widehat{BOC}+\widehat{K}=(90^{\circ}+\frac{a^{\circ}}{2})+(90^{\circ}-\frac{a^{\circ}}{2}))=180^{\circ}$

Vậy $\widehat{BOC}$ và $\widehat{K}$ là hai góc kề bù nhau.