A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Tính giá trị của biểu thức đại số

Để tính giá trị của biểu thức đại số khi biết giá trị của các biến, ta chỉ việc thay các biến trong biểu thức bằng những số đã cho để được một biểu thức số rồi tính kết quả của nó.

Đôi khi ta có thể sử dụng giả thiết về sự ràng buộc các biến một cách linh hoạt bằng cách biến đổi giả thiết đã cho dưới các hình thức khác nhau.

Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức:

a) A = $(x-y)^{2}(x^{2}+y^{2})$ tại $x = -2; y=2$

b) B = $x^{2}-2xy+2y^{3}$ tại $|x| = 1; |y| = 2$

c) C = $(x^{2}-1)(x^{2}-2)...(x^{2}-2011)$ tại $x = 5$

Hướng dẫn:

a) Thay $x = -2; y=2$ vào biểu thức ta có:

A = $(-2-2)^{2}[(-2)^{2}+2^{2}]=16.8=128$

b) |x| = 1 nên x = 1 hoặc x = -1; |y| = 2 nên y = 2 hoặc y = -2

+) x = 1; y = 2 thì B = $1^{2}-2.1.2+2.2^{3}=1-4+16=13$

+) x = 1; y = -2 thì B = $1^{2}-2.1.(-2)+2.(-2)^{3}=1+4-16=-11$

+) x = -1; y = 2 thì B = $(-1)^{2}-2.(-1).2+2.2^{3}=1+4+16=21$

+) x = -1; y = -2 thì B = $(-1)^{2}-2.(-1).(-2)+2.(-2)^{3}=1-4-16=-19$

c) Tại x = 5 thì $x^{2} - 25 = 0$

Do $x^{2} - 25$ là một thừa số của tích C nên C = 0

2. Tìm giá trị của biến để biểu thức đại số thỏa mãn điều kiện cho trước

- Để tìm giá trị của biến x sao cho biểu thức A(x) nhận giá trị nhỏ nhất (hoặc giá trị lớn nhất) ta làm như sau:

• Chỉ ra rằng $A(x)\geq a$ (hoặc $A(x)\leq a$)
• TÌm được x0 để A(x0) = a

Vậy min A(x) = a tại x = x0 (hoặc max A(x) = a tại x = x0)

- Để tìm giá trị nguyên của biến x sao cho biểu thức dạng $\frac{P_{x}}{Q_{x}}$ nhận giá trị nguyên với (P(x), Q(x) là các biểu thức nguyên), ta làm như sau:

• Biến đổi $\frac{P_{x}}{Q_{x}}=H(x)+\frac{a}{Q(x)}$ trong đó H(x) là biểu thức nguyên (với các hằng số nguyên); a hằng số nguyên.
• Để $\frac{P_{x}}{Q_{x}}$ nhận giá trị nguyên thì Q(x) phải là ước số của a. Từ đó tìm ra x.

Ví dụ 2: 

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = $(x+2)^{2} + \sqrt{5}$

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = $4 - \sqrt{2}(x-5)^{2}$

Hướng dẫn:

a) Ta có $(x+2)^{2}\geq 0$ với mọi $x\in R$ và $(x+2)^{2}=0\Leftrightarrow x=-2$

Do đó A = $(x+2)^{2} + \sqrt{5} \geq \sqrt{5}$

Vậy min A = $\sqrt{5}$ tại x = -2

b) Với mọi $x\in R$ ta có $(x-5)^{2}\geq 0$ nên $-\sqrt{2}(x-5)^{2}\leq 0$; dấu bằng sảy ra khi $x - 5 = 0 \Leftrightarrow x=5$

Do đó P = $4 - \sqrt{2}(x-5)^{2}\leq 4$ nên max P = 4 khi x = 5

Ví dụ 3: Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức M = $\frac{8x+1}{4x-1}$ nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn:

Ta có: M = $\frac{8x+1}{4x-1}=\frac{2(4x-1)+3}{4x-1}=2+\frac{3}{4x-1}$

Để M nhận giá trị nguyên thì 4x - 1 phải là ước của 3

$\Rightarrow 4x-1\in {-3;-1;1;3}$

$\Rightarrow x\in {-\frac{1}{2};0;\frac{1}{2};1}$

Mà x nguyên nên x = 0 hoặc x = 1