A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

- Từ tính chất ba đường trung tuyến ta suy ra:

• Trong một tam giác có hai đường trung tuyến cắt nhau tại G thì đường thẳng thứ ba đi qua đỉnh thứ ba và qua G cũng là đường trung tuyến thuộc cạnh thứ ba của tam giác đó.
• Ứng dụng: Từ tính chất đó áp dụng chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau; hoặc đoạn này gấp đôi, gấp ba đoạn kia

- Từ trong tậm ý nghĩa vật lí tức là tâm của trọng lực.

Ý nghĩa: Cắt một tấm bìa hình tam giác có độ dày như nhau. Kẻ đường trung tuyến để tìm trọng tâm. Ta đặt tấm bìa hình tam giác lên một mũi đinh yêu cầu phương của đinh thẳng góc với mặt đất, mũi đinh đặt vào trọng tâm của tam giác. Giữ cho tấm bìa thăng bằng (song song với mặt đất) thì tấm bìa hình tam giác có thể nằm cân bằng trên mũi đinh.

- Muốn chứng minh một điểm là trọng tâm của một tam giác:

• Cách 1: Chứng minh điểm đó là giao của hai đường trung tuyến của một tam giác
• Cách 2: Điểm đó nằm trên một đường trung tuyến của tam giác và cách đỉnh một khoảng bằng $\frac{2}{3}$ độ dài đường trung tuyến (hoặc cách trung điểm cạnh đối diện một khoảng bằng $\frac{1}{3}$ đường trung tuyến)

- Từ hai cách chứng minh đó, để tìm trọng tâm của một tam giác cho trước ta cũng sử dụng hai cách trên.

Ví dụ 1: Cho $\Delta $ABC, trên tia đối của tia BC lấy điểm E và trên tia đối của tia CB lấy điểm F sao cho BE = CF

a) Chứng minh $\Delta $ABC và $\Delta $AEF có cùng trọng tâm G.

b) Nối AG cắt BC tại M. Lấy H là trung điểm của đoạn AG. Nối EG cắt AF tại N và lấy I là trung điểm của đoạn EG. Chứng minh IH // MN và IH = MN.

Hướng dẫn:

a) Kẻ trung tuyến AM và trên AM lấy AG = $\frac{2}{3}$AM, ta được G là trọng tâm của $\Delta $ABC. Ta sẽ chứng minh G cũng là trọng tâm của $\Delta $AEF. Thật vậy, ta có:

AM là trung tuyến của $\Delta $ABC nên BM = MC

Theo giả thiết có BE = CF

$\Rightarrow $ BM + BE = MC + CF

Hay ME = MF

Do đó AM cũng là trung tuyến của tam giác $\Delta $AEF, mà AG = $\frac{2}{3}$AM nên G cũng là trọng tâm của $\Delta $AEF

b) Xét $\Delta $GHI và $\Delta $GMN có: HG = $\frac{1}{2}$AG (giả thiết)

Mà AG = $\frac{2}{3}$AM nên HG = $\frac{1}{2}.\frac{2}{3}AM=\frac{1}{3}AM$

Có GM = $\frac{1}{3}$AM nên GM = GH

Ta có G là trọng tâm $\Delta $AEF nên EN là đường trung tuyến của tam giác và GN = $\frac{1}{3}$ EN

IG = $\frac{1}{2}$EG (I là trung điểm của EG) do đó:

IG = $\frac{1}{2}.\frac{2}{3}EN \Rightarrow  IG = \frac{1}{3}EN$

$\Rightarrow $ GN = IG

Vì $\widehat{HGI}=\widehat{MGN}$ nên $\Delta $GHI = $\Delta $GMN (c.g.c) suy ra: HI = MN và $\widehat{H_{1}}=\widehat{M_{1}}$

Mà $\widehat{H_{1}}$ và $\widehat{M_{1}}$ ở vị trí so le trong nên HI // MN.