Bài tập về tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

1. 

a) O là trọng tâm $\Delta $ABC (giả thiết), suy ra AI là trung tuyến của $\Delta $ABC.

Xét $\Delta $BOE, có BO = $\frac{2}{3}$BN (tính chất)

Có: ON = $\frac{1}{3}$BN; OI = $\frac{1}{3}$AI

Mà OI = IE $\Rightarrow $ OI = IE = $\frac{1}{3}$AI

Vậy OI + IE = $\frac{1}{3}$AI + $\frac{1}{3}$AI = $\frac{2}{3}$AI

Xét $\Delta $BIE và $\Delta $CIO có:

OI = IE

BI = IC

$\widehat{I_{1}}=\widehat{I_{2}}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow $ $\Delta $BIE = $\Delta $CIO (c.g.c)

$\Rightarrow $ BE = CO

Mà CO = $\frac{2}{3}$CK $\Rightarrow $ BE = $\frac{2}{3}$CK

Vậy $\Delta $BOE có 3 cạnh: OE = $\frac{2}{3}$AI; BO = $\frac{2}{3}$BN; BE = $\frac{2}{3}$CK (đpcm)

b) $\Delta $BOE tồn tại ba đoạn OE, BO và BE thỏa mãn bất đẳng thức trong tam giác: 

BE - OE < OB < BE + OE

$\Leftrightarrow \frac{2}{3}CK - \frac{2}{3}AI < \frac{2}{3}BN<\frac{2}{3}CK +\frac{2}{3}AI$ 

$\Rightarrow $ CK - AI < BN < CK + AI

Ba đoạn thẳng AI, CK và BN thỏa mãn bất đẳng thức trong tam giác.

Vậy tồn tại một tam giác có ba cạnh là độ dài của ba đoạn thẳng BN, CK và AI

2. 

a) G là trọng tâm $\Delta $ABC nên:

GI = $\frac{1}{3}$AI (tính chất)

Mà GI = IM nên GM = GA = $\frac{2}{3}$AI    (1)

Tương tự ta có: GN = GB = $\frac{2}{3}$BE   (2)

                GP = GC = $\frac{2}{3}$CF   (3)

Xét $\Delta $PGN và $\Delta $CGB có:

GP = GC 

GN = GB

$\widehat{PGN}=\widehat{CGB}$

$\Rightarrow $ $\Delta $PGN = $\Delta $CGB (c.g.c) $\Rightarrow $ PN = BC và $\widehat{P_{1}}=\widehat{C_{1}}$

Tương tự ta có:

$\Delta $GPM = $\Delta $GCA (c.g.c) $\Rightarrow $ PM = AC

$\Delta $GNM = $\Delta $GBA (c.g.c) $\Rightarrow $ MN = AB

Xét $\Delta $ABC và $\Delta $PNM có:

PM = AC

MN = AB

PN = BC

$\Rightarrow $ $\Delta $ABC = $\Delta $PNM (c.c.c)

b) PN cắt AM tại Q. Xét $\Delta $GPQ và $\Delta $GCI có:

GP = GC

$\widehat{D_{1}}=\widehat{C_{1}}$

$\widehat{PGQ}=\widehat{CGI}$

$\Rightarrow $ $\Delta $GPQ = $\Delta $GCI (g.c.g)

$\Rightarrow $ PQ = IC và GQ = GI

Mà PQ = IC, IC = $\frac{1}{2}$BC; PN = BC $\Rightarrow $ PQ = $\frac{1}{2}$PN hay PQ = QN

Vậy MQ là trung tuyến thuộc cạnh PN của $\Delta $PNM

3. 

Ta có:

AM = $\frac{1}{2}$BC

CM = MB = $\frac{1}{2}$BC

$\Rightarrow $ AM = MC = MB

$\Delta $AMB có: MA = MB nên $\Delta $AMB cân tại M $\Rightarrow \widehat{A_{1}}=\widehat{B}$ 

$\Delta $AMC có: MA = MC nên $\Delta $AMC cân tại M $\Rightarrow \widehat{A_{2}}=\widehat{C}$ 

$\Rightarrow \widehat{A_{1}}+\widehat{A_{2}}=\widehat{B}+\widehat{C}$

Mà $\widehat{A_{1}}+\widehat{A_{2}}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$

$\Rightarrow \widehat{A_{1}}+\widehat{A_{2}}=\widehat{B}+\widehat{C}=90^{\circ}$

Vậy $\widehat{BAC}=90^{\circ}$

4. 

a) Trên tia đối của tia IA lấy điểm D sao cho ID = IA

Xét $\Delta $BID và $\Delta $CIA có: 

BI = IC

ID = IA

$\widehat{BID}=\widehat{CIA}$

$\Rightarrow $ $\Delta $BID = $\Delta $CIA (c.g.c)

$\Rightarrow $ BD = AC

Trong $\Delta $ABC có: AB - BD < AD < AB + BD

Thay AD = 2AI ta được:

AB - AC < 2AI < AB + AC

$\Leftrightarrow \frac{AB-AC}{2}<AI<\frac{AB+AC}{2}$

b) Tương tự với đường trung tuyến BE, ta có: BE < $\frac{AB+BC}{2}$

   Tương tự với đường trung tuyến CF, ta có: CF < $\frac{AC+BC}{2}$

$\Rightarrow AI + BE + CF < \frac{AB+AC+AB+BC+AC+BC}{2}$

$\Leftrightarrow $ AI + BE + CF < AB + AC + BC

Xét $\Delta $BHG có GB + GC > BC. Hay $\frac{2}{3}BE + \frac{2}{3}CF>BC$

$\Rightarrow BE+CF>\frac{3}{2}BC$

Tương tự ta có: $BE+AI>\frac{3}{2}AB$

                $AI+CF>\frac{3}{2}AC$

$\Rightarrow $ 2(AI+BE+CF) > $\frac{3}{2}$(AB+AC+BC)

$\Leftrightarrow $ AI+BE+CF > $\frac{3}{4}$(AB+AC+BC)

Vậy $\frac{3}{4}C_{\Delta ABC}$ < BE + CF + AI < $C_{\Delta ABC}$