A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Tìm giá trị của x trong bài toán dạng |A(x)| = k

Để tìm x trong bài toán dạng |A(x)| = k, trong đó (A(x) là biểu thức chứa x, k là 1 số cho trước ta làm như sau:

- Nếu k < 0 thì không có giá trị nào của x thỏa mãn đẳng thức (trị tuyệt đối của mọi số đều không âm).

- Nếu k = 0 thì ta có |A(x)| = k $\Rightarrow $ A(x) = 0

- Nếu k > 0 thì ta có |A(x)| = k $\Rightarrow $ A(x) = k hoặc A(x) = -k

Ví dụ 1: Tìm x biết:

a) $\left | 2x-\frac{3}{2} \right |=\frac{-1}{2}$

b) $\frac{3}{2}-\left | 2x-\frac{7}{4} \right |=\frac{5}{4}$

Hướng dẫn:

a) Vì $\left | 2x-\frac{3}{2} \right |\geq 0$ nên không có giá trị nào thỏa mãn $\left | 2x-\frac{3}{2} \right |=\frac{-1}{2}$

b) $\frac{3}{2}-\left | 2x-\frac{7}{4} \right |=\frac{5}{4}$

$\Leftrightarrow \left | 2x-\frac{7}{4} \right | = \frac{3}{2}-\frac{5}{4}$

$\Leftrightarrow \left | 2x-\frac{7}{4} \right |=\frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow 2x-\frac{7}{4} = \frac{1}{4}$ hoặc $2x-\frac{7}{4} = -\frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow x=1$ hoặc $x=\frac{3}{4}$

2. Tìm giá trị của x trong bài toán dạng |A(x)| = |B(x)|

Để tìm x trong bài toán dạng |A(x)| = |B(x)|, trong đó (A(x) và B(x) là biểu thức chứa x ta vận dụng tính chất sau:

|a| = |b| $\Leftrightarrow $ a = b hoặc a = -b. Tức là |A(x)| = |B(x)| $\Leftrightarrow $ A(x) = B(x) hoặc A(x) = -B(x)

Ví dụ 2: Tìm x biết:

a) |5x-4| = |x+4|

b) |7x-1| - |5x+1| = 0

Hướng dẫn:

a) |5x-4| = |x+4|

$\Leftrightarrow $ 5x - 4 = x + 4 hoặc 5x - 4 = -(x + 4)

$\Leftrightarrow $ 4x = 8 hoặc 6x = 0

$\Leftrightarrow $ x = 2 hoặc x = 0

Vậy x = 2 hoặc x = 0

b) |7x-1| - |5x+1| = 0

$\Leftrightarrow $ |7x-1| = |5x+1|

$\Leftrightarrow $ 7x - 1 = 5x + 1 hoặc 7x - 1 = -(5x + 1)

$\Leftrightarrow $ 2x = 2 hoặc 12x = 0

$\Leftrightarrow $ x = 1 hoặc x = 0

3. Tìm giá trị của x trong bài toán dạng |A(x)| = B(x)

Để tìm x trong bài toán dạng |A(x)| = B(x) (*), (trong đó A(x) và B(x) là biểu thức chứa x) ta thực hiện 1 trong 2 cách sau:

Cách 1:

- Điều kiện B(x) $\geq $ 0

- Khi đó bài toán được đưa về dạng |A(x)| = |B(x)| $\Leftrightarrow $ A(x) = B(x) hoặc A(x) = -B(x)

- Tìm x rồi đối chiếu với điều kiện B(x) $\geq $ 0 rồi kết luận.

Cách 2: Chia khoảng xét điều kiện để khử bỏ dấu trị tuyệt đối

TH1: Nếu A(x) $\geq $ 0 thì (*) trở thành A(x) = B(x) (sau khi tìm được x đối chiếu với điều kiện A(x) $\geq $ 0)

TH2: Nếu A(x) < 0 thì (*) trở thành -A(x) = B(x) (sau khi tìm được x đối chiếu với điều kiện A(x) < 0)

Ví dụ 3: Tìm x, biết:

a) |x - 3| = 5 - 2x

b) |5 - x| = 3x + 1

Hướng dẫn:

a) |x - 3| = 5 - 2x

Điều kiện $5 - 2x \geq 0 \Rightarrow x\leq \frac{5}{2}$. Khi đó ta có:

$|x - 3| = |5 -  2x|$ $\Leftrightarrow $ $x - 3 = 5 - 2x$ hoặc $x - 3 = 2x - 5$

$\Leftrightarrow  3x = 8$ hoặc $x = 2$

$\Leftrightarrow  x = \frac{8}{3}$ (không thỏa mãn $x\leq \frac{5}{2}$) hoặc $x = 2$ (thỏa mãn $x\leq \frac{5}{2}$)

Vậy x = 2

b) |5 - x| = 3x + 1

TH1: $5 - x \geq  0 \Leftrightarrow x\leq 5$. Khi đó ta có:

  5 - x = 3x + 1

$\Leftrightarrow 4x = 4$

$\Leftrightarrow x = 1$ (thỏa mãn $x\leq 5$)

TH2: $5-x < 0 \Leftrightarrow x > 5$. Khi đó ta có:

  x - 5 = 3x + 1

$\Leftrightarrow 2x = -6$

$\Leftrightarrow  x = -3$ (không thỏa mãn x > 5)

Vậy x = 1

4. Đẳng thức chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối:

Ta lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối: |A(x)| + |B(x)| + |C(x)| = m. Căn cứ bảng trên xét từng khoảng bài toán (đối chiếu điều kiện tương ứng)

Ví dụ 4: Tìm x, biết: 

a) |2x - 6| + |x + 3| = 8

b) |x + 5| + |x-3| = 9

Hướng dẫn:

a) |2x - 6| + |x + 3| = 8

+ Xét $x < -3$, thì $2x - 6 < 0$ và $x + 3 < 0$. Khi đó ta có:

 $-(2x-6) - (x+3) = 8$

$\Leftrightarrow -2x+6-x-3=8$

$\Leftrightarrow 3x = -5$

$\Leftrightarrow x = \frac{-5}{3}$ ( không thỏa mãn x < -3)

+ Xét $-3 \leq x < 3$ thì $2x - 6 < 0$ và $x + 3 \geq  0$. Khi đó ta có:

$-(2x-6) + (x+3) = 8$

$\Leftrightarrow -2x + 6 + x + 3 = 8$

$\Leftrightarrow x = 1$ (thỏa mãn $-3 \leq x < 3$)

+ Xét $x \geq 3$ thì $2x - 6 \geq 0$ và $x = 3 > 0$. Khi đó ta có:

 $(2x-6) + (x+3) = 8$

$\Leftrightarrow 2x - 6 + x = 3 = 8$

$\Leftrightarrow x = \frac{11}{3}$ (thỏa mãn $x \geq 3$)

Vậy $x = 1$ hoặc $x = \frac{11}{3}$

b) Học sinh làm tương tự