A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Tìm căn bậc hai của một số không âm

Sử dụng định nghĩa: Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho $x^{2}$ = a.

Với a > 0 có hai căn bậc hai là $\sqrt{a}$ và $-\sqrt{a}$

Với a = 0 có một căn bậc hai là 0.

Với a < 0 không có căn bậc hai nào

Ví dụ 1: Tìm căn bậc hai của :

a) 25     b) 0,0001     c) 0     d) 15     e) -6

Hướng dẫn:

a) Căn bậc hai của 25 là $\sqrt{25}$ = 5 và -$\sqrt{25}$ = -5

b) Căn bậc hai của 0,0001 là $\sqrt{0,0001}$ = 0,01 và -$\sqrt{0,0001}$ = -0,01

c) Căn bậc hai của 0 là 0

d) Căn bậc hai của 15 là $\sqrt{15}$ và -$\sqrt{15}$

e) -6 < 0 nên không có căn bậc hai

2. Số vô tỉ

Để chứng tỏ một số là số vô tỉ ta có thể:

Cách 1: Chỉ ra số đó viết được dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

Cách 2: Giả sử số đó là số hữu tỉ dạng $\frac{p}{q}(p,q\in Z, (p;q)=1)$. Từ đó suy luận để tìm ra mâu thuẫn.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng $\sqrt{5}$ là số vô tỉ.

Hướng dẫn:

Giả sử $\sqrt{5}$ là số hữu tỉ. Khi đó $\sqrt{5}$ có thể viết được dưới dạng $\frac{p}{q}(p,q\in Z, (p;q)=1)$. Ta có:

$\sqrt{5}=\frac{p}{q}\Rightarrow \frac{p^{2}}{q^{2}}=5\Rightarrow p^{2}=5q^{2}$

Do đó $p^{2}\vdots 5$ $\Rightarrow $ $p\vdots 5$

Đặt p = 5m ($m\in Z$) thì ta có $p^{2}=25m^{2}=5q^{2}$

$\Rightarrow q^{2}=5m^{2}$

Chứng tỏ $q\vdots 5$

Do đó p và q cùng chia hết cho 5 (trái với giả thuyết)

Do đó $\sqrt{5}$ không phải là số hữu tỉ.

Vậy $\sqrt{5}$ là số vô tỉ.

3. So sánh số thực

Để so sánh hai số thực a, b ta có thể sử dụng một số nhận xét sau:

- Nếu a > m, m > b thì a > b

- Nếu hai số thực dương thì:

a > b $\Leftrightarrow \sqrt{a}>\sqrt{b}$

a > b $\Leftrightarrow a^{2}>b^{2}$

Ví dụ 3: So sánh a = $3\sqrt{2}$ và b = $2\sqrt{3}$

Hướng dẫn:

Xét $a^{2}= (3\sqrt{2})^{2}=18$

    $b^{2}= (2\sqrt{3})^{2}=12$

Do $a^{2} > b^{2}$ mà a , b > 0 nên a > b.