1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Giải nhanh hoạt động 1 trang 6 sgk toán 9 tập 1 kntt

Câu “Quýt, cam mười bảy quả tươi” có nghĩa là tổng số cam và quýt là 17. Hãy viết hệ thức mới với hai biến x và y biểu thị giả thiết này.

Giải nhanh:

x + y = 17.

Giải nhanh hoạt động 2 trang 6 sgk toán 9 tập 1 kntt

Tương tự, hãy viết hệ thức với hai biến x và y biểu thị giả thiết cho bởi các câu thơ thứ ba, thứ tư và thứ năm.

Giải nhanh:

Hệ thức liên hệ 3x + 10y = 100.

Giải nhanh luyện tập 1 trang 6 sgk toán 9 tập 1 kntt

Hãy viết một phương trình bậc nhất hai ẩn và chỉ ra một nghiệm của nó.

Giải nhanh:

Phương trình bậc nhất hai ẩn: 5x – 3y = 1

Cặp số (2; 3) là nghiệm của phương trình

Giải nhanh luyện tập 2 trang 8 sgk toán 9 tập 2 kntt

Viết nghiệm và biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn sau:

a) 2x – 3y = 5;

b) 0x + y = 3;

c) x + 0y = 2.

Giải nhanh:

a) Xét phương trình: 2x – 3y = 5 (1)

Ta viết (1) dưới dạng y =

Mỗi cặp số với x tùy ý, là một nghiệm của (1).

Khi đó ta nói phương trình (1) có nghiệm tổng quát là:

với x R tùy ý

Mỗi nghiệm này là tọa độ của một điểm thuộc đường thẳng y =

Ta gọi đường thẳng này là đường thẳng d: 2x – 3y = 5

Để vẽ d, ta chỉ cần xác định hai điểm tùy ý của nó, chẳng hạn A và vẽ như sau:

b) Xét hai phương trình: 0x + y = 3 (2)

Ta viết (2) dưới dạng y = 3

Mỗi cặp số (x;3) với x tùy ý, là một nghiệm của (2).

Khi ta nói phương trình (2) có nghiệm tổng quát là:

(x; 3) với x tùy ý

Mỗi nghiệm này là tọa độ của một điểm thuộc đường thẳng y = 3

Ta gọi đường thẳng này là đường thẳng d: 0x + y = 3

Để vẽ d, ta chỉ cần xác định hai điểm tùy ý của nó, chẳng hạn A(0; 3) và B (1; 3) và vẽ như sau:

c) Xét phương trình: x + 0y = -2 (3)

Ta viết (2) dưới dạng x = -2

Mỗi cặp số (-2; y) với y tùy ý, là một nghiệm của (3).

Khi đó ta nói phương trình (3) có nghiệm tổng quát là:

(-2; y) với y tùy ý

Mỗi nghiệm này là tọa độ của một điểm thuộc đường thẳng x = -2

Ta gọi đường thẳng này là đường thẳng d: x + 0y = -2 

Để vẽ d, ta chỉ cần xác định hai điểm tùy ý của nó, chẳng hạn A (-2; 0) và B(-2; -1) và vẽ như sau:

2. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Giải nhanh luyện tập 3 trang 9 sgk toán 9 tập 1 kntt

Trong hai cặp số (0; -2) và (2; -1), cặp số nào là nghiệm của hệ phương trình

Giải nhanh:

Thay (0; -2) vào hệ đã cho ta có:

Nên (0; -2) không là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Thay (2; -1) vào hệ đã cho ta có:

Nên (2; -1) là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Giải nhanh Vận dụng trang 9 sgk toán 9 tập 1 kntt

Xét bài toán cổ trong tình huống mở đầu. Gọi x là số cam, y là quýt cần tính (x, y , ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn sau:

Giải nhanh:

Thay (10; y) vào hệ đã cho ta có:

(vô lí)

Nên (10; 7) không là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Thay (7; 10) vào hệ đã cho ta có:

Nên (7; 10) là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Vậy số quả quýt là 7 quả, số quả cam là 10 quả.

3. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SGK

Giải nhanh bài 1.1 trang 10 sgk toán 9 tập 1 kntt

Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất hai ẩn? Vì sao?

a) 5x – 8y; 

b) 4x + 0y = -2;

c) 0x + 0y = 1;

d) 0x – 3y = 9.

Giải nhanh:

Các phương trình a); b); d) là phương trình bậc nhất hai ẩn, vì có hệ số a hoặc b khác không.

Phương trình c) không phải phương trình bậc nhất hai ẩn vì a = b = 0

Giải nhanh bài 1.2 trang 10 sgk toán 9 tập 1 kntt

a) Tìm giá trị thích hợp thay cho dấu “?” trong bảng sau rồi cho biết 6 nghiệm của phương trình 2x – y = 1:

b) Viết nghiệm tổng quát của phương trình đã cho. 

Giải nhanh:

a)

6 nghiệm là: (-1; -3), (-0,5; -2), (0; -1), (0,5; 0), (1;1) và (2;3).

b) Nghiệm tổng là: (x; 2x – 1) với x R tùy ý.

Giải nhanh bài 1.3 trang 10 sgk toán 9 tập 1 kntt

Viết nghiệm và biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn sau:

a) 2x – y – 3;

b) 0x + 2y = -4;

c) 3x + 0y = 5.

Giải nhanh:

a) 2x – y = 3 (1)

Viết (1) dưới dạng: y = 2x – 3

Ta có nghiệm tổng quát của (1) là: (x; 2x – 3) với x R tùy ý.

Biểu diễn hình học tất cả các nghiệm bằng cách vẽ đường thẳng d: y = 2x – 3

Vẽ d ta lấy hai điểm tùy ý thuộc d, chẳng hạn A(0; -3) và B

b) 0x + 2y = -4 (2)

Viết (2) dưới dạng: y = -2

Ta có nghiệm tổng quát của (2) là: (x; -2) với x tùy ý.

Biểu diễn hình học tất cả các nghiệm bằng cách vẽ đường thẳng d: y = -2

Vẽ d ta lấy hai điểm tùy ý thuộc d, chẳng hạn A(0; -2) và B(1; -2)

(y = -2 là đường thẳng song song với trục hoành Ox)

c) 3x + 0y = 5 (3)

Viết (3) dưới dạng: x =

Ta có nghiệm tổng quát của (3) là: với y R tùy ý.

Biểu diễn hình học tất cả các nghiệm bằng cách vẽ đường thẳng d: x =

Vẽ d ta lấy hai điểm tùy ý thuộc d, chẳng hạn A

(x = là đường thẳng song song với trục tung Oy)

Giải nhanh bài 1.4 trang 10 sgk toán 9 tập 1 kntt

Cho hệ phương trình

a) Hệ phương trình nên có là một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn không? Vì sao?

b) Cặp số (-3; 4) có là một nghiệm của hệ phương trình đã cho hay không? Vì sao?

Giải nhanh:

a) Xét hệ phương trình

Phương trình thứ nhất: 2x = -6 là phương trình bậc nhất (a

Phương trình thứ hai: 5x + 4y = 1 là phương trình bậc nhất (a và b

Vậy hệ trên là một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

b) Cặp số (-3; 4)

Với x = -3 và y = 4 ta có:

2x = 2.(-3) = -6 là nghiệm của phương trình thứ nhất

5x + 4y = 5.(-3) + 4.4 = -15 + 16 = 1 là nghiệm của phương trình thứ hai

Vậy cặp số (-3; 4) là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Giải nhanh bài 1.5 trang 10 sgk toán 9 tập 1 kntt

Cho các cặp số (-2; 1), (0; 2), (1; 0), (1,5; 3), (4; -3) và hai phương trình 

5x + 4y = 8 (1)

3x + 5y = -3 (2)

Trong các cặp số đã cho:

a) Những cặp số nào là nghiệm của phương trình (1)?

b) Cặp số nào là nghiệm của hệ hai phương trình gồm phương trình (1) và phương trình (2)?

c) Vẽ hai đường thẳng 5x + 4y – 8 và 3x + 5y = -3 trên cùng một mặt phẳng tọa độ để minh họa kết luận ở câu b.

Giải nhanh:

a) Thay (-2; 1) vào phương trình (1) ta có: 5.(-2) + 4.1 = 8 (vô lí)

Thay (0; 2) vào phương trình (1) ta có: 5.0 + 4.2 = 8 (luôn đúng)

Thay (1; 0) vào phương trình (1) ta có: 5.1 + 4.0 = 8 (vô lí)

Thay (1,5; 3) vào phương trình (1) ta có: 5.1,5 + 4.0 = 8 (vô lí)

Thay (4; -3) vào phương trình (1) ta có: 5.4 + 4.(-3) = 8 (luôn đúng)

Vậy nghiệm của phương trình (1) là (0; 2) và (4; -3).

b) Vì (-2; 1), (1; 0) và (1,5; 3) không là nghiệm của phương trình (1) nên cũng không là nghiệm của hệ phương trình gồm (1) và (2).

Thay (0; 2) vào phương trình (2) ta có: 3.0 + 5.2 = -3 (vô lí)

Thay (4; -3) vào phương trình (2) ta có: 3.4 + 5.(-3) = -3 (luôn đúng)

Vậy (4; -3) là nghiệm của phương trình gồm (1) và (2)

c) Đường thẳng 5x + 4y = 8 và 3x + 5y = -3 trên cùng một mặt phẳng tọa độ

Viết 5x + 4y = 8 về dạng: y =

Lấy hai điểm chẳng hạn là C

Ta vẽ được hai đường thẳng như sau :

Như vậy ta thấy hai đường thẳng cắt nhau tại điểm có tọa độ (-4 ; 3) chính là nghiệm của hệ phương trình (1) và (2) ở câu b.