Giải nhanh bài 5.28 trang 109 sgk toán 9 tập 1 kntt

Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau, điểm O nằm trong phần mặt phẳng giữa hai đường thẳng đó. Biết rằng khoảng cách từ O đến a và b lần lượt bằng 2 cm và 3 cm.

a) Hỏi bán kính R của đường tròn (O; R) phải thỏa mãn điều kiện gì để ( (O; R) cắt cả hai đường thẳng a và b?

b) Biết rằng đường tròn (O; R) tiếp xúc với đường thẳng a. Hãy xác định vị trí tương đối của đường tròn  (O; R) và đường thẳng b.

Giải nhanh:

a) Để (O; R) cắt cả hai đường thẳng a và b thì R >  d(O; b) = 3 cm.

b) Vì đường tròn (O; R) tiếp xúc với đường thẳng a => R = 2 cm.

Mà 2 cm < 3 cm nên đường thằng b không cắt đường tròn (O; R).

Giải nhanh bài 5.29 trang 110 sgk toán 9 tập 1 kntt

Khi chuyển động, giả sử đầu mũi kim dài của một chiếc đồng hồ vạch nên một đường tròn, kí hiệu là (T1), trong khi đầu mũi kim ngắn vạch nên một đường tròn khác, kí hiệu là (T2).

a) Hai đường tròn (T1) và (T2) có vị trí tương đối như thế nào?

b) Giả sử bán kính của (T1) và (T2) lần lượt là R1 và R2. Người ta vẽ trên mặt đồng hồ một họa tiết hình tròn có tâm cách điểm trục kim đồng hồ một khoảng bằng R1 và có bán kính bằng  R2. Hãy cho biết vị trí tương đối của đường tròn (T3) đối với mỗi đường tròn (T1) và (T2). Vẽ ba đường tròn đó nếu R1 = 3cm và R2 = 2cm.

Giải nhanh:

a) Hai đường trong không giao nhau và đồng tâm, đường tròn (T1) đựng đường tròn (T2) vì bán kính đường tròn (T1) dài hơn bán kính đường tròn (T2).

b) – So với đường tròn (T1) thì (T3) không giao với (T1) và (T1) đựng (T3) vì bán kính (T1) lớn hơn bán kính (T3)

- So với đường tròn (T2) thì hai đường tròn (T2) và (T1) cắt nhau vì R₁ – R₃ < O₁O₃ < R₁ + R₃. 

Giải nhanh bài 5.30 trang 110 sgk toán 9 tập 1 kntt

Cho đường tròn (O) đường kính AB, tiếp tuyến xx’ tại A và tiếp tuyến yy’ tại B của (O). Một tiếp tuyến thứ ba của (O) tại P ( P khác A và B) cắt xx’ tại M và cắt yy’ tại N. 

a) Chứng minh rằng MN= MA + NB.

b) Đường thẳng đi qua O và vuông góc với AB cắt NM tại Q. Chứng minh rằng Q là trung điểm của đoạn MN.

c) Chứng minh rằng AB tiếp xúc với đường tròn đường kính MN.

Giải nhanh:

a) Vì hai trung tuyến MA và MP của đường tròn tâm O cắt nhau tại M (A, P là các tiếp điểm) nên MA = MP.

Vì hai trung tuyến NB và NP của đường tròn tâm O cắt nhau tại N (B, P là các tiếp điểm) nên NB = NP.

Ta có MN = MQ + QN => MN = NB + MA (đpcm).

b) Xét hình thàng AMNB có AM // NB // OQ (do đều cùng vuông góc với AB) có: O là trung điểm AB

=> Q là trung điểm MN ( tính chất đường trung bình của hình thang).

c) Vì hai trung tuyến MA và MP của đường tròn tâm O cắt nhau tại M (A, P là các tiếp điểm) nên góc AOM và MOP là hai góc bằng nhau.

Vì hai trung tuyến NB và NP của đường tròn tâm O cắt nhau tại N (B, P là các tiếp điểm) nên góc OBN bằng góc OPN.

Ta có

Mà góc MON là góc nội tiếp chắn cung MN

=> 3 điểm M, O, N đều nằm trên đường tròn đường kính MN

=> Q là tâm đường tròn đường kính MN ( do Q là trung điểm MN – cmt).

Mà OQ vuông góc với AB => đpcm.

Giải nhanh bài 5.31 trang 110 sgk toán 9 tập 1 kntt

Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài với nhau tại A và cùng tiếp xúc với đường thẳng d tại B và C (khác A), trong đó B (O)  và C (O’). Tiếp tuyến của (O) tại A cắt BC tại M. Chứng minh rằng:

a) Đường thẳng MA tiếp xúc với (O’) ;

b) Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng BC từ đó suy ra ABC là tam giác vuông.

Giải nhanh:

a) Vì (O) và (O’) tiếp xúc ngoài nên O, A, O’ thẳng hàng.

MA là tiếp tuyến đường tròn tâm O (A là tiếp điểm) nên MA vuông góc với OA.

Hay MA vuông góc với O’A => ĐPCM.

b) – Xét đường tròn (O) có hai tiếp tuyến cắt nhau là MB và MA

=> MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

– Xét đường tròn (O’) có hai tiếp tuyến cắt nhau là MC và MA

=> MA = MC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

=> MA = MB = MC

Xét tam giác ABC có MA = MB = MC nên tam giác ABC vuông tại A (đpcm)